2.4连续型随机变量的概率密度.ppt

§2.4 §2.4 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度¶ 概率密度及其性质· 指数分布¸ 均匀分布¹ 正态分布与标准正态分布一一. .连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，， 存在非负函数存在非负函数 f (x)，，使得对于任意使得对于任意 实数实数 x，有，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，，其中函数其中函数 f (x) 称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.连续型随机变量连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．由其密度函数唯一确定．证明： 所以有连续型随机变量的重要特点连续型随机变量的重要特点:1.分布函数F(X)为连续函数由由2.2.可推知可推知而而 并非不可能事件，并非不可能事件， 并非必并非必然事件可见，然事件可见，由由 不能推出不能推出由由 不能推出不能推出 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：f (x)0x1f (x)x0说说 明明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．所关心的是它在某一区间上取值的问题．注注 意意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！ 利用以上关系可以推得，随机变量利用以上关系可以推得，随机变量 落落入某有限区间入某有限区间 内的概率为内的概率为类似可得类似可得 取值落入取值落入 内的概率为：内的概率为：例例1 1设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为解：解： ⑴⑴．由密度函数的性质．由密度函数的性质例例1 1设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为例例2 2 某电子元件的寿命（单位：小时）是以某电子元件的寿命（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解：设：设：A={ 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换}检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重Bernoulli试验．试验． B={ 5 个元件中恰有个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过个的使用寿命不超过150小时小时 }为密度函数的连续型随机变量．求为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解：P(A)=1/3例例2 2 某电子元件的寿命（单位：小时）是以某电子元件的寿命（单位：小时）是以例例3 3例例4 4例例4 4例例4 4返回主目录例例4 4二二. . 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量1．均．均 匀匀 分分 布布若随机变量X的密度函数为记作 X ~ U [a , b]或 X ~ R [a, b]均匀分布的概率背景XXabxll0均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数abxF (x)01例例5 5 设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一班车分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到到7:30之间的均之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概分钟的概率．率．解：解：设该乘客于设该乘客于7时时X分到达此站．分到达此站．令：令：B={ 候车时间不超过候车时间不超过5分钟分钟 }例例6 62 2．正．正 态态 分分 布布xf (x)0标准正态分布正态分布密度函数的图形性质xf (x)0正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质正态分布的密度曲线是一条对称正态分布的密度曲线是一条对称的钟形曲线。

特点是的钟形曲线特点是““两头小，两头小，中间大，左右对称中间大，左右对称”” 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．标准正态分布的计算x0x-x标准正态分布的计算一般正态分布的计算例例8 8例例9 9例例9 9例例1010例例1111 假设某种电池寿命（单位：小时）为一随机假设某种电池寿命（单位：小时）为一随机变量，它服从参数为变量，它服从参数为300和和352的正态分布，计算：的正态分布，计算：这种电池寿命在这种电池寿命在250250小时以上的概率；小时以上的概率；内的内的概率不低于概率不低于 解解 设电池的寿命为设电池的寿命为 X, ,则则X～～ N（（300，， 352 ））确定数字确定数字 , ,使电池寿命落在区间使电池寿命落在区间由由 可得可得利用分布函数的单调不减性，查表可得：利用分布函数的单调不减性，查表可得：电池寿命落在区间电池寿命落在区间[242.5,357.5][242.5,357.5]内的概率不低于内的概率不低于 。

例例1111 假设某种电池寿命（单位：小时）为一随机假设某种电池寿命（单位：小时）为一随机变量，它服从参数为变量，它服从参数为300和和352的正态分布，计算：的正态分布，计算：这种电池寿命在这种电池寿命在250250小时以上的概率；小时以上的概率；内的内的概率不低于概率不低于 确定数字确定数字 , ,使电池寿命落在区间使电池寿命落在区间解解03．指．指 数数 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为的密度函数为密度函数的验证指数分布的分布函数返回主目录例例7 7令：B={ 等待时间为10~20分钟 }4.4. - -分布分布. .Γ- 函函 数数说明说明1说明说明2。