匝道等不完整缓和曲线计算解释和说明.doc

第 1 页 共 8 页匝道等不完整缓和曲线坐标计算匝道等不完整缓和曲线坐标计算随着全站仪在道路工程施工测量中的普及，传统的中线放样方法逐渐被淘汰目前道路工程中线放样时，只要能计算出中线上任意一点的坐标，用全站仪或者 GPS RTK 的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的，而直线与圆曲线组合的线形（见图一）中桩坐标计算比较简单，在此不作阐述下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形（即基本形）（见图二）和非完整形（即卵形）（见图三）二种一、一、 基本形曲线中桩坐标计算基本形曲线中桩坐标计算: :1、对于第一缓和曲线及圆曲线段（ZH~YH）（如图四），建立以 ZH 为坐标原点，切线方向为 X′′轴，半径方向为 Y′′轴的曲线坐标系（X′′O′′Y′′） 先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标⑴对于第一缓和曲线段（ZH~HY）内任一点 i（此时（此时 L=Ki-KZH））若圆曲线半径 R≥100m 时，则Xi′′=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Yi′=′=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径 R＜100m 时，则X′′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③）Y′′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）⑵对于圆曲线段（HY~YH）上任一点 i第 2 页 共 8 页Xi′′=q+Rsin¢iYi′=R(1-cos′=R(1-cos¢i)+pL=Ki-KZH ¢i=(L- Ls1)*180/(Rπ)+β0内移值 P=Ls12/(24R)切线增值 q= Ls1/2- Ls13/（240R2）综合⑴、⑵，根据不同坐标系的相互转换，可得 ZH~YH 上任一点 i 的中桩测量坐标为：Xi=XZH+cosA×Xi′′-sinA×f×Yi′′（公式⑤）Yi= YZH+sinA×Xi′′+cosA×f×Yi′′（公式⑥）式中 f 为线路的转向系数，右转时 f=1，左转时 f=-1 。

A 为 X′′轴方向的坐标方位角2、对于第二缓和曲线段（YH~HZ），建立以 HZ 为坐标原点，切线方向为 X”轴，半径方向为 Y”轴的曲线坐标系（X”O”Y”）此时对于第二缓和曲线段（YH~HZ）上任一点 i在曲线坐标系（X”O”Y”）下的坐标可表达为(此时 L=KZH- Ki)若圆曲线半径 R≥100m 时，则Xi“=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Yi“=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径 R＜100m 时，则X“=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③）Y“=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）同理经过坐标系的转换，可得测量坐标Xi=XHZ+cosA×Xi“-sinA×g×Yi“（公式⑦）第 3 页 共 8 页Yi= YHZ+sinA×Xi“+cosA×g×Yi“（公式⑧）式中 g 为线路的转向系数，右转时 g=-1，左转时 g=1 。

A 为 X“轴方向的坐标方位角二、二、 卵形曲线中桩坐标计算卵形曲线中桩坐标计算1、卵形曲线坐标计算原理我们知道：卵形曲线是指在两半径不等的圆曲线间插入的一段缓和曲线也就是说：卵形曲线只是缓和曲线的一段，是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，是一条非完整的缓和曲线因此在进行计算时可根据已知的设计参数，先求出包含此卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素（主要是 HZ'点坐标值、桩号及其切线方位角），再按完整形缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标2、卵形曲线坐标计算方法卵形曲线一般设计在高速公路互通立交的匝道高速公路互通立交的匝道上，圆曲线半径都比较小计算时先将卵形曲线还原成完整缓和曲线，再通过两曲线半径 R1、R2求出还原的缓和曲线长 L0假设 R1

如图五①、计算出 YH1 点（R1 对应的点）在曲线坐标系下的坐标，进而求出 HZ′′的测量坐标X′′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③）Y′′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）第 4 页 共 8 页因为卵形曲线多为小半径的缓和曲线，为保证计算精度要求取公式前 6 项来计算公式中 L 为计算点至 HZ'的弧长（此时为 YH1 点）L 对应弦长 C=√（X'2+Y'2）偏角 a1=arctg（Y'÷X'） 注：偏角计算用反正切公式，不要用其它公式此时缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR）∴YH1~HZ′′切线方位角；T=T YH1+ a2- a1∴HZ′′测量坐标： X=XYH1+CcosT，Y=YYH1+CsinT②、HZ′′点的切线方位角（X′′坐标轴方向）计算切线方位角：A=T-180+ a1③、计算卵形曲线任一点的坐标使用公式⑦、⑧即可三、计算实例三、计算实例下面以泉三高速公路三明段大田立交 B 匝道缓和曲线基本形与卵形中桩坐标计算为例，见图六： 已知相关设计数据见下表：R1=50、R2=75坐 标 （m）切线方位角 （θ）主点 桩号XY° ’ ” ZH AK0+0909987.403 10059.37892 17 26.2HY1 AK0+1609968.981 10125.341132 23 51.6YH1 AK0+223.7159910.603 10136.791205 24 33.6HY2 AK0+271.8819880.438 10100.904251 24 18.5YH2 AK0+384.0329922.316 10007.909337 04 54.2HZ AK0+444.0329981.363 10000.0000 00 001、基本形曲线 ZH~YH1 段计算A1=√（50*70）=59.161由 ZH 点坐标推算 HY1 点的坐标，若直接利用第 5 页 共 8 页Xi′′=L-L5/(40R2Ls12) Yi′=′=L3/(6RLs1) 此时 L=Ki-KZH 得Xi′′=66.57，Yi′=′=16.333 代入公式⑤、公式⑥得测量坐标 Xi=9968.422 Yi= =10125.242此坐标与设计坐标相差比较大，是由于曲线半径小，计算 Xi′、Yi′时公式只取前两项导致的。

为此取计算公式前六项，利用公式③、公式④X′′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③）Y′′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）此时得 Xi′′=66.639，Yi′=15.762′=15.762 代入公式⑤、公式⑥得测量坐标 Xi= 9968.983 Yi=10125.338=10125.338此坐标与设计坐标相比较ΔX=X计算值-X设计值=9968.983-9968.981=+0.002mΔY=Y计算值-Y设计值=10125.338-10125.341=-0.003m2、卵形曲线参数：A22=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900 A2=84.9993、卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度 LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度 LS，由此找出 HZ′′点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）， 建立以 HZ′′为坐标原点、切线方向为 X′′轴、半径方向为 Y′′轴的曲线坐标系（X′′O′′Y′′）。

LS（YH1 至 HZ'的弧长）=A22÷R1=7224.900÷50=144.498第 6 页 共 8 页∴HZ′′桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2 至 HZ′′的弧长= A22÷R2=7224.900÷75=96.332卵形曲线长度 LF=Ls- LE =144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ′′-LE =368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确4、HZ′′点坐标计算（见图六：）①用缓和曲线切线支距公式计算，由于卵形曲线半径一般都比较小，为确保计算精度，计算公式保留前六项，如下X′′=L-L5÷［40（RLS）2］+L9÷［3456（RLS）4］–L13÷［599040（RLS）6］+L17÷［175472640（RLS）8］- L21÷［7.80337152×1010（RLS）10］ （公式③）Y′′=L3÷［6（RLS）］ - L7÷［336（RLS）3］+L11÷［42240（RLS）5］ - L15÷［9676800（RLS）7］+L19÷［3530096640（RLS）9］ - L23÷［1.8802409472×1012（RLS）11］ （公式④）公式中 L 为计算点至 HZ′′的弧长HZ′′：AK0+368.213 的坐标从 YH1：AK0+223.715 推算，L=LS=HZ′′-YH1=368.213-223.715=144.498将 L= LS 代入公式⑤、公式⑥得：X′′=117.1072 Y′′=59.8839 L 对应弦长 C=√（X′′2+ Y′′2）=131.5301偏角 a1=arctg（Y′′÷X′′）=27°05’00.2”缓和曲线切线角：a2=90L÷（πR）=90×144.498÷(π×50)=82°47’28.5”Q3=a2- a1=82°47’28.5”-27°05’00.2”=55°42’28.3”∴YH1~HZ′′切线方位角=205°24’33.。