高维欧氏几何学.doc

高维欧氏几何学白话高维欧氏几何学的思路和方法【摘耍】要在现实的三维的世界里表示一个n维的世界，那么，这个被农示的“n维世界”里将令n-3个两两垂直的方向是 看不到的就是说，如果硬要搞出一个“n维直角坐标系”则要有n-3个坐标轴无法画出《离维欧氏儿何学》和《画法儿何》都成功地解决了这个问题，但《画法几何》的方法由于没冇与相应的变换武相联系，n 维空间中一个点要用n-3个线段去表示，方法过于复杂，因而收效甚微；《髙维欧氏儿何学》由于采用了 “关系”法，一个点 状图形可以表示n维空间中n-3个线性无关的向杲，因而收获巨大关键词】斜轴变换，斜轴画法，主垒向，主垒空间，泛点《高维欧氏几何学》右别于其它任何所谓的高维几何，主要表现在它成功地解释了奇维欧氏空间的主要的几何现象，并将 《线性代数》中的相关内容推进到了儿何化的髙度它为什么能够取得这么人的成功呢？这主要归功于它那独特而神奇的思路 和方法《高维欧氏几何学》的思路和方法，总称为“关系”法，内中又包含了 “斜轴变换”和“斜轴画法”两项内容，其前者可 以看作是思路，而后者可以看作方法斜轴变换的思路基于这样一种现实：我们所生活的这个lit界是一个三维的lit界，我们要在这个三维的lit界里來表示一个n 维的世界，那么，这个被我们所表示“n维世界”里将有n-3个两两垂直的方向是看不到的。

就是说，如果硬要搞出一个“n维 直角坐标系”则要有n-3个坐标轴无法画出那么，斜轴变换是如何解决这一难逊的呢？顾名思义，既称“变换”，那一定是与某种变换式结了缘一次偶然的尝试，竞然意外地导出了一个神奇的结果！这个神奇的“结果”就是那个后來被称作“关系式”的变换式利 用这个变换式，笔者尝试着作出了一个模拟的四维直角坐标系因为那个变换式反映了一种特定的条件，这个模拟坐标系也是 仅仅满足这种特定条件下所作出的，所以我将其称为“持定四维系”按照那种变换式的条件，在这个四维系中，第三个唯标轴是倒在前两个朋标轴所在的坐标面的，它倒下去的同时，有一条 直线（这直线的方程关于第四个坐标轴的坐标为零）及与这个直线互相平行的所有直线都被压缩成了点状这种“点状”的图 形，与原來坐标系中的“点”就不是同一种意义上的图形了，我将它们称为“泛点”，这些“泛点”因为都表示一条直线，所 以它们的足阶阶数为1阶将那个变换式移项，变换式的左端是一个向量，我发现，这个向量正是那些被压缩为点状的直线的方向，或者说，它的方 向是“泛点”所表示的那些直线的方向现在，在那个特定四维系中，能看见的互相垂直的坐标轴只剩下了三条:第一、第二和第四条（第三条倒在了前两个坐标 轴所在的他标Ifli k）。

我又选择了一条关于这三条塑标轴的处标不为零而关于第三个他标轴的坐标为零的直线，先确定它的方 向，与这直线平行的--个向量称作这直线的方向向量再将这方向向量的右端加上关系号，关系号右端再写上一个0 °然后， 再移项，这向量的前两项被移往关系式右端，于是又变成了一个新的关系式按照这个新的关系式，第四个鏗标轴也倒在了前 两个坐标轴所在的坐标而上现在，有着四个坐标轴的一个坐标系.变成了这么一个扁平形状的同样有着四个坐标轴的平面坐标系,我将其暂时称作“转 定四维平面”过这特定四维平面的原点引一条垂直向上的射线作为笫五个坐标轴，就构成一个特定五维坐标系（简称五维系 或特定五维系）这特定五维系中的点状图形也称作“泛点”，这些“泛点”因为表示两条互不平行（但却相交）的直线，因 此它们的足阶阶数为2在这个五维系中，看得见的互相垂直的坐标轴仍然只有三条:第一、第二和第五条再选择一条关于这三条坐标轴的坐标 不为零而关于另外两条倒下去的坐标轴的坐标均为零的直线，确定它的方向向虽，并按照上面的做法将英改写为变换式那么， 这第五个他标轴也倒在了询两个塑标轴所在的处标而上，变成“特定五维平而”再过这特定五维平而的原点引垂直向上的射 线作为第六个维标轴，构成特定六维系。

持定六维系中的点状图形仍称作“泛点”，它们的足阶阶数为3再找一关于第六、第-•和第二坐标轴堆标不为零而关于第三、第网、第五堆标轴朋标为寥的直线，确定方向向量，改写为 变换式，构造持定七维系……照这个思路一直做F去，我们终究会做出一个持定n维系°这特定n维系中的点状图形同样称 作“泛点”，因为它们表示n-3条互不平行但却能相交于一点的直线，所以，它们的足阶阶数为n-3这里，我们将n维空间中那看不见的n-3条坐标轴改为n-3条直线，那n-3条坐标轴就变为可以看到了这n-3条直线虽 然变为看不见了，但是在相应的变换式中可以得知他们的方向说完了基本思路，现在该说说皋本方法了基本方法是“斜轴画法”基本方法的前提，是我们将持定n维系中的所有图形都看作泛点的“轨迹”当一泛点沿着一个方向均匀平行移动时，它 的后面就留下一条痕迹，这条痕迹就称为它移动的“轨迹”泛点平移的轨迹形成泛曲线，泛曲线平移的轨迹乂形成泛曲面 但归根结底，泛曲面也是看作泛点的轨迹，而泛点又是看作点的轨迹在这样的意义下建立了泛III【面、泛III【线的图形与相应的 代数方程间的关系：凡在这泛曲而或泛曲线上的点的坐标都满足它们的方程，凡不在这泛曲面或泛曲线上的点的坐标都不满足 它的方程。

如何判断一个点在或不在这泛曲面或泛曲线上呢?这就要说到我们的基本方法——斜轴画法了斜轴画法由三种图示法所组成，这三种图示法分别是：1.直接图示法；2•间接图示法；3. --般图示法普通的解析几何中，因为那里的图形只是看作仔通点的轨迹，所以只使用-•种图示法就足够了但四维以上的空间中的图 形，祁是先看作泛点的轨迹，然后再把泛点看作普逋点的轨迹隔了这样一层关系，问题就变得复杂了由于泛点分为足阶、乏阶和零阶三种，针对不同阶数的泛点，就要有不同的图示方法在特定n维系中，第三、第四、……，一直到第n-1个坐标轴是倒在前两个他标轴所形成的坐标而上，而且方向通常是倾 斜的，所以称这n-3个轴为斜轴在这些斜轴形成的过程中,有旷3条直线被压缩成为“泛点”，这n-3条直线的方向都分别各用一个向量表示,称作主垒 向，每个主垒向各乘以一个倍数后，再把乘以倍数后的各个主垒向相加，称作主垒向间的一个线性组合各个主垒向的所有的 线性组合表示一个n-3维的空间，这个空间称作主垒空间，位于原点的那个泛点正好农示这个主垒空间，而其它泛点都与这个 泛点全同•般图示法是针对足阶泛点的特点而设立的，用來表示足阶泛点及其平移轨迹所形成的图形；间接图示法是针对乏阶泛点 的特点而没立的，用來表示乏阶泛点及其平移轨迹；直接图示法则是针对零阶泛点而没立，用來表示它的平移轨迹所形成的图 形。

•般图示法基于点共泛理论所谓点共泛理论,是指选择这样一组点，这些点共有n・2个，其中由任怠一个点出发指向另 外n-3个点的向最的坐标可以组成这样一个矩阵，这个矩阵经过初等变换可以变成由各个主垒向的分戢所纽成的矩阵（称作主 垒阵）然后，再根据主垒阵而确定出各个主垒向，将各个主垒向改写为变换式，就构造出一个特定n维系，使这n-2个点被 压缩在同一个泛点中当这n-2个点处于同一泛点之中时，称这n-2个点“共泛”间接图示法则比较简单，因为图示对彖是乏阶泛点及其平移轨迹，所以在给出图形的同时，相应地作出文字说明或给出相 应的代数方程比较麻烦的是直接图示法为了保证对同一类型的点的图示功能的唯-性，需要使被图示的点关于各斜轴唯标与所釆用的 特定n维系的主垒向的第三个分量间有一•种线性关系，为此将被图示的点的朋标称为“斜标”，各主垒向的第三个分屋称为“斜 数”，使被图示的点“斜标”与“斜数”间保持一定的倍数同时，根据体视投影图形（是--种立体图，原理与立体电影相仿） 原理，还需要用一对特定n维系來表示已有的特定n维系称作“主系”，新増加的特定n维系称作“客系”，“客系”与主 系的区别，是它的“斜轴”与“主系”关于原点对称。

三种图示法很好地解决了特定n维系中图形和相应的代数方程Z间的关系问题，为进一步研究它们的几何性质，和它们Z 间的相互关系打下了坚实的基础口前，人们研究高维空间儿何现彖的方法主要有以卜•三种：画法儿何的方法；非欧儿何的方法；线性变换的方法但是， 这三种方法所取得的进展微乎其微，唯独高维欧氏儿何学的方法一枝独秀，慕本上系统地解决了高维欧氏空间的儿何问範是 什么原因造成了这种局面？我们就來分析一下先说画法儿何画法儿何虽然取得较另外两种方法*得*的成就，例如，用单位圆法解决了 n维空间中两个平面间的夹角 问题,相应的方法被《高维欧氏儿何学》所引用并发展成夹角问题的“简氏解法”但是，由于画法儿何没有与相应的变换式联系起來，它就必须在作图方法上弥补这些缺陷我们说，由于是在三维世界里 研究n维空间的事物，那么，必然要有n-3个方向无法直接看到画法几何为了设法让人们看到这n-3个方向，不得不在作图 过程中添加许名线条來表示这n-3个方向例如要表示四维空间的一个点，前三个坐标容易解决，第四个坐标如何办呢？它只 好用一个线段來表示就是说，我们看到的四维空间的一个点，在这里变成了条线段同样，在五维空间，它要用两个线段 來表示一个点。

依此类推，在n维空间，它就要用n-3个线段來表示一个点这么冬的线条，这么复杂的作图方法，不仅制作 起來相当繁顼，识别起來更加困难重重，这就为它的实用化设證了巨大的障碍因此，它不可能取得更大的突破和进展而高维欧氏儿何学的方法是建立在斜轴变换和斜轴画法的基础之上的，n维空间中那看不见的n-3个方向，可以通过它的变 换式而得以昭示这样，我们用一个点状图形-泛点，就表示了这廿3个方向在斜轴变换和斜轴画法的基础上，髙维欧氏 儿何学解决髙维空间的儿何问题戲呈现出髙屋建鉞，势如破竹的局而再看线性变换的方法由于只在非奇井线性变换上打主意，因为无法解决模拟直和坐标系的问题，尽符采用了 “斜坐标” 的方法，最终还是无法解决n维空间中那无法看到的n-3个方向，因此，儿乎是无果而终＜=最后再看非欧儿何的方法非欧儿何II前还无法上升到解析儿何的烏度，耍用它來解决烏维空间的儿何问题，必须先对它 进行“数字化”处理，就是说先要把它变为解析几何但是，解析几何是在-■定的处标系中來研究代数方程的几何性质而冃 前，它仅有的所谓“坐标系”仅仅是一个克莱因模型，最名只能勉强表示二维空间的儿何问题而且由于该模型是非线性的， 用來图示线性方程组所表示的图形还远远不够现实。

为此，许名人试图对非欧儿何进行进-步的改造，使它与欧氏空间的差距 尽可能无穷尽地缩小但是，据我预测，他们的最后这一步的目的即使达到了，当他们试图在此基础上建立高维解析儿何时， 他们仍然会落入线性变换方法（笫二种方法〉的巢臼而无法自拔《高维欧氏几何学》的思路和方法，不仅仅在高维解析几何中表现了出色的神奇作用，我们预期，它们将会在物理学和经 济学领域里同样犬展身手本贴转自河风海韵»【学无常师】学术研究讨论专版。