2024年数学新高考《函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题》及答案.pdf

1函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题 函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.不动点与稳定点【一阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x0I，使得 f(x0)=x0，则称x0是函数 f(x)的一阶不动点，简称不动点不动点是方程x=f(x)的解不动点是y=x与y=f(x)图像交点的横坐标【二阶周期点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x0I，使得 f(f(x0)=x0且 f(x0)x0，则称x0为函数 f(x)的二阶周期点二阶周期点是方程组y=f(x)x=f(y)xy 的解二阶周期点是y=f(x)图像上关于y=x对称(不在y=x上)的两点的横坐标【二阶不动点】对于函数y=f(x)，定义域为I，如果存在x0I，使得 f(f(x0)=x0则称x0为函数 f(x)的二阶不动点，简称稳定点稳定点是不动点和二阶周期点的并集稳定点是y=f(x)图像上关于y=x对称的两点的横坐标以及y=f(x)与y=x的交点的横坐标2.两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【典型例题】【典型例题】1 1(20242024 山东青岛山东青岛 高三统考开学考试高三统考开学考试)将函数y=13-x2-2(x-3,3)的图象绕点(-3,0)逆时针旋转(0)，得到曲线C，对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则 最大时的正切值为()A.32B.23C.1D.32 2(20242024 山东潍坊山东潍坊 高三统考阶段练习高三统考阶段练习)已知函数 f x=ln x+1x0，将函数 f x的图象绕原点逆时针旋转 0,角后得到曲线C，若曲线C仍是某个函数的图象，则的最大值为()A.6B.4C.3D.23 3(20242024 江西江西 校联考模拟预测校联考模拟预测)已知函数 f(x)=ax-ex与函数 g(x)=xlnx+1的图像上恰有两对关于 x轴对称的点，则实数a的取值范围为()A.(e-1,+)B.e-12,+C.e-12,+D.(-,e-1)4 4(20242024 山东菏泽山东菏泽 高二山东省鄄城县第一中学校考期末高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数 f x=ax-xlnx与函数 g x=ex-1的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为()2A.-,1-eB.-,1-e2C.-,1-eD.-,1-e25 5(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)对于连续函数 f x，若 f x0=x0，则称 x0为 f x的不动点设 f x=xa x+2，若 f x有唯一不动点，且 f x0=11012，xn=f xn-1n=1,2,，则x2023=6 6(20242024 北京海淀北京海淀 清华附中校考模拟预测清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数 f(x)，存在一个点x0，使得 f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 x0为该函数的一个不动点，现新定义：若 x0满足 f x0=-x0，则称x0为 f x0的次不动点，有下面四个结论定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点当1a32时，函数 f(x)=log24x-a2x+1在0,1上仅有一个不动点和一个次不动点不存在正整数m，使得函数 f(x)=ex-12x-m 在区间0,1上存在不动点，其中，正确结论的序号为7 7(20242024 广东揭阳广东揭阳 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数 f(x)，如果存在点x0，使得 f x0=x0，那么我们称函数 f(x)为“不动点”函数，而称x0为该函数的不动点类比给出新定义：若不动点x0满足 fx0=x0，则称x0为 f(x)的双重不动点则下列函数中，f(x)=x3-xsinx；f(x)=ex-1x；f(x)=ex+e-x2-1具有双重不动点的函数为(将你认为正确的函数的代号填在横线上)【过关测试】【过关测试】一、单选题一、单选题1.(20242024 安徽池州安徽池州 高三统考期末高三统考期末)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转3后与原图象重合，则在以下各项中 f(1)的取值只可能是A.3B.1C.33D.02.(20242024 贵州贵阳贵州贵阳 高一贵阳一中校考阶段练习高一贵阳一中校考阶段练习)设D是含数3的有限实数集，f x是定义在D上的函数，若f x的图象绕原点逆时针旋转45后与原图象重合，则在以下各项中，f 3的可能取值只能是()A.3B.3C.-3D.03.(20242024 上海浦东新上海浦东新 高三上海市实验学校校考开学考试高三上海市实验学校校考开学考试)2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图)，而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：3如图，平面上有两定点OA，两动点BQ，且|OA|=|OB|=1,OA 绕点O逆时针旋转到OB 所形成的角记为，设函数 f=4sign cos-sin5-，其中sign x=1x00 x=0,-1x0 令=f，作OQ=OB，随着的变化，就得到了点Q的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q的轨迹(考虑蝴蝶的朝向)最有可能为()A.B.C.D.44.(20242024 陕西榆林陕西榆林 高三校考阶段练习高三校考阶段练习)已知函数 f x=x2-m与函数g(x)=ln1x-x,x12,2的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是()A.0,2-ln2B.0,-14+ln2C.-14+ln2,2-ln2D.-14+ln2,ln25.(20242024 贵州六盘水贵州六盘水 高三校考期末高三校考期末)已知函数 f(x)=-x3+ax1e,e(e是自然对数的底数)与g(x)=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A.0,1e3+2B.0,e3-4C.1,e3-3D.e3-4,+,6.(20242024 贵州贵阳贵州贵阳 高三贵阳一中阶段练习高三贵阳一中阶段练习)若函数y=x3-x2-1-a，(x1e,e，e为自然对数的底数)与y=x2-3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是A.0,1e3+2B.0,e3-4C.1e3+2,e3-4D.1e3+2,+7.(20242024 湖北湖北 校联考二模校联考二模)已知函数 f(x)=a-x2(1exe,e为自然对数的底数)与g(x)=2lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A.1,e2-2B.1,1e2+2C.1e2+2,e2-2D.1e2+2,e2-28.(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)函数y=f x定义在R上，已知y=f(x)的图象绕原点旋转90后不变，则关于方程 f x=x的根，下列说法正确的是()A.没有实根B.有且仅有一个实根C.有两个实根D.有两个以上的实根9.(20242024 河南河南 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知函数 f x=x2+m与函数g x=-ln1x-3x x12,2的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是()A.54+ln2,2B.2-ln2,54+ln2C.54+ln2,2+ln2D.2-ln2,210.(20242024 青海海南青海海南 高三校联考期末高三校联考期末)已知函数 f x=ln-x与函数g x=ex-e-1x-a的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为()A.0,eB.1,+C.e,+D.1e,+11.(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=ex-12(xx1x2B.x2x3x1C.x2x1x3D.x3x2x114.(20242024 河南开封河南开封 统考一模统考一模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f x，存在点x0，使得 f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数若函数 f x=x aex-lnx为“不动点”函数，则实数a的取值范围是()A.-,0B.-,1eC.-,1D.-,e15.(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)对于函数 f x，若 f x=x，则称x为 f x的“不动点”，若 f f x=x，则称x为 f x的“稳定点”，记A=x f x=x，B=x f f x=x，则下列说法错误的是()A.对于函数 f x=x，有A=B成立B.若 f x是二次函数，且A是空集，则B为空集C.对于函数 f x=12x，有A=B成立D.对于函数 f x=bx，存在b 0,+，使得A=B成立16.(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)对于函数 f x，若 f x0=x0，则称x0为函数 f x的“不动点”；若 f f x0=x0，则称x0为函数 f x的“稳定点”如果函数 f x=x2+a aR的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是()A.-，14B.-34，+C.-34，14D.-34，1417.(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若存在一个实数t，使得F t=t成立，则称t为函数F x的一个不动点.设函数g x=ex+1-ex-a(aR,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数 f x满足 f-x+f x=x2，且当x0时，f xx.若存在x0 x f x+12 f 1-x+x ，且x0为函数g x的一个不动点，则实数a的取值范围为()A.-,e2B.e2,+C.e2,e D.e2,+二、多选题二、多选题18.(20242024 安徽六安安徽六安 高三六安一中校考期末高三六安一中校考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 f(x)，存在一个点x0，使得 f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是()A.函数 f(x)=sinx有3个不动点6B.函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)至多有两个不动点C.若函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)没有不动点，则方程 f(f(x)=x无实根D.设函数 f(x)=ex+x-a(aR，e为自然对数的底数)，若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使 f(f(y0)=y0成立，则a的取值范围是 1,e19.(20242024 全国全国 高三专题练习高三专题练习)将函数h x=exx0的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 0,，得到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图像，则的可能取值为()A.4B.2C.34D.20.(20242024 新疆克孜勒苏新疆克孜勒苏 高三统考期末高三统考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数 f x，存在一个点x0，使得 f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A.f x=x2-x-3B.f x=2x+xC.f x=x12+2D.f x=log2x-121.(20242024 广东珠海广东珠海 高三校考期末高三校考期末)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一。