第七章-Z变换.ppt

电器信息工程学院蔡超峰如果能如果能够够找到一找到一类类基本信号基本信号 ϕ(t) 或或 ϕ(n)，它，它满满足：足：n 用它用它们们能构成相当广泛的信号；能构成相当广泛的信号；n LSI 系系统对统对每个每个 ϕ(t) 或或 ϕ(n) 的响的响应应十分十分简单简单则则系系统对统对任意任意输输入信号的响入信号的响应应将会具有一个将会具有一个简单简单的表达式的表达式单单位冲激信号位冲激信号 δ(t) 或或 δ(n)、复正弦信号、复正弦信号 ejΩt 或或 ejωt、复指数信号、复指数信号 est 和和 zn 同同时时具有上述两个性具有上述两个性质质如果如果 ϕ(t) 或或 ϕ(n)为单为单位冲激信号，即位冲激信号，即为时为时域分析方法域分析方法如果如果 ϕ(t) 或或 ϕ(n)为为复正弦信号复正弦信号 、复指数信号，即、复指数信号，即为变换为变换域分析方域分析方法，分法，分别对应别对应于傅里叶于傅里叶变换变换、、z 变换变换或拉普拉斯或拉普拉斯变换变换对对于于单单位冲激响位冲激响应为应为 h(t) 的的连续时间连续时间 LSI 系系统统，若，若输输入是入是 x(t)= est，其中，其中 s 为为复数，复数，则则系系统统的响的响应应 y(t) 为为：：令：令：则则有有:由此可由此可见见，，连续时间连续时间 LSI 系系统对统对复指数复指数输输入入 est 的响的响应应，仍是一个，仍是一个相同的复指数信号，只是其幅度要倍乘一个相同的复指数信号，只是其幅度要倍乘一个 复数复数值值 H(s)。

对对于于单单位冲激响位冲激响应为应为 h(n)的离散的离散时间时间 LSI 系系统统，若，若输输入入为为 x(n)= zn ，其中，其中 z 为为复数，复数，则则系系统统的响的响应应 y(n) 为为：：令：令：则则有有:由此可由此可见见，离散，离散时间时间 LSI 系系统对统对复指数复指数输输入入 zn 的响的响应应，仍是一个，仍是一个相同的复指数信号，只是其幅度要倍乘一个复数相同的复指数信号，只是其幅度要倍乘一个复数值值 H(z)假假设连续时间设连续时间和离散和离散时间时间 LSI 系系统统的某个任意的某个任意输输入信号分入信号分别别是由不是由不同的复指数信号同的复指数信号 或或 线线性性组组合而成：合而成：根据根据LSI系系统统的的线线性性性性质质，它，它们对们对 x(t) 和和 y(t)的响的响应应分分别别是：是：结论结论：：只要任意的只要任意的输输入信号入信号 x(t) 或或 x(n) 能分能分别别表示成复指数信号的表示成复指数信号的线线性性组组合，就可以很方便的写出合，就可以很方便的写出 LSI 系系统对统对它它们们的响的响应应1.Z 变换变换的定的定义义2.Z 变换变换的收的收敛敛域域3.Z 变换变换的零、极点的零、极点4.Z 变换变换的性的性质质5.反反 Z 变换变换6.LSI 系系统统的系的系统统函数函数1. Z 变换变换的定的定义义拉普拉斯拉普拉斯变换变换（双（双边边）：）：Z 变换变换（双（双边边）：）：Z 变换变换的定的定义义可由拉普拉斯可由拉普拉斯变换变换引出。

引出连续连续信号信号 x(t) 的理想抽的理想抽样样信号信号为为取取 xs(t) 的拉普拉斯的拉普拉斯变换变换，得，得令令 ，有，有1. Z 变换变换的定的定义义考察考察变变量替量替换换：： ，令，令 ，，则则有有 jImjΩReS平面平面Z平面平面σ00σ0σ0+jΩ0Ω00Ω0Ω单单位位圆圆0ω1-1z0=r0ejω0r0ω0π2π-2π-πω01. Z 变换变换的定的定义义拉普拉斯拉普拉斯变换变换和和 Z 变换变换与傅里叶与傅里叶变换变换的关系：的关系：如果有如果有则则有有这这就就说说明明拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和 Z 变变换换分分别别是是连连续续和和离离散散时时间间傅傅里里叶叶变变换换的的一一般般化化，，通通常常把把连连续续时时间间和和离离散散时时间间信信号号的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和 Z 变变换换分分别别称称为为它它们们的的复复频频谱谱，，把把 LSI 系系统统单单位位冲冲激激响响应应的拉普拉斯的拉普拉斯变换变换和和 Z 变换变换称称为为系系统统函数或函数或转转移函数。

移函数1. Z 变换变换的定的定义义此外此外还还有：有：这这说说明明一一些些不不满满足足模模可可积积与与模模可可和和的的时时间间函函数数与与序序列列尽尽管管不不存存在在傅傅里里叶叶变变换换，，但但实实指指数数加加权权以以后后就就满满足足了了模模可可积积或或模模可可和和，，就就有有了了傅傅里里叶叶变变换换因因此此，，一一些些没没有有傅傅里里叶叶变变换换的的时时间间信信号号和和序列，却有拉普拉斯序列，却有拉普拉斯变换变换和和 Z 变换变换若若 x(n) 为为 N 点序列，其点序列，其 Z 变换变换、、DTFT 及及 DFT 分分别别是：是：由此可知，由此可知，z 是在使是在使 X(z) 收收敛敛的的 z 平面上取平面上取值值，，X(jω) 仅仅在在单单位位圆圆上取上取值值，， X(k)是在是在单单位位圆圆上上 N 个等个等间间距的点上取距的点上取值值1. Z 变换变换的定的定义义ImRe01az 平面平面2π/N1. Z变换变换的定的定义义习题习题：：求求x(n)=anu(n) 的的 Z 变换变换，其中，其中 a 为为常数，常数，u(n) 为单为单位位阶阶跃跃函数解答：解答：如果有如果有 ，即，即 则则上式收上式收敛敛，于是，于是习题习题：：求求 y(n)=－－anu(－－n－－1) 的的 Z 变换变换，其中，其中 a 为为常数，常数，u(n)为为单单位位阶跃阶跃函数。

函数解答：解答：如果有如果有 ，即，即 则则上式收上式收敛敛，于是，于是2. Z 变换变换的收的收敛敛域域使得使得 Z 变换变换有意有意义义必必须满须满足：足：上式等效于上式等效于这这就就说说明，明， 如果如果 x(n)z-n绝对绝对可和可和则则 X(z)收收敛敛根据傅里叶根据傅里叶变换变换的的收收敛敛条件可知，如果条件可知，如果 x(n) 不是不是绝对绝对可和的，那么其傅里叶可和的，那么其傅里叶变换变换不存在将不存在将 x(n) 乘上一个合适的乘上一个合适的 z 的的负幂负幂，那么其，那么其 Z 变换变换就有就有可能存在可能存在 使使 Z 变换变换存在的存在的 z 的取的取值值的集合称的集合称为为 X(z)的收的收敛敛域域（（region of convergence, ROC）2. Z 变换变换的收的收敛敛域域前已述及，前已述及，X(z) 是序列是序列 x(n)被一个非被一个非负负的的实实序列序列 r-n加加权权后的傅后的傅里叶里叶变换变换，即，即对给对给定的序列定的序列 x(n)，至少将会存在一个，至少将会存在一个 r 值值使得使得 X(z) 收收敛敛或或发发散，又因散，又因为为 r 是是 z 的模，因此可以想象，的模，因此可以想象， X(z) 的收的收敛敛域将具有域将具有如下形式：如下形式： 2. Z 变换变换的收的收敛敛域域设设 x(n) 在区在区间间 N1 ~ N2 内有内有值值，，N1 < N2, 即即1.有限有限长长序列（有始有序列（有始有终终序列）序列）例例题题：：已知已知 x(n)=u(n)－－u(n－－N)，求，求X(z) 。

解答：解答：nN1 ≥ 0，， N2 > 0 收收敛敛域：域：nN1 < 0，， N2 ≤ 0 收收敛敛域：域：nN1 < 0，， N2 > 0 收收敛敛域：域：2. Z 变换变换的收的收敛敛域域2. 右右边边序列（有始无序列（有始无终终的序列）的序列）nN1 ≥ 0，，N2 = ∞ nN1 < 0，，N2 = ∞ROC：：ROC：：2. Z 变换变换的收的收敛敛域域例例题题：：已知序列已知序列 x(n)=3-nu(n)，求，求 X(z) 解答：解答：ROC：： 即即2. Z 变换变换的收的收敛敛域域3. 左左边边序列（无始有序列（无始有终终的序列）的序列）nN1=－－∞ ，，N2 ≤0 nN1=－－∞ ，，N2 >0ROC：：ROC：：2. Z 变换变换的收的收敛敛域域4. 双双边边序列（无始无序列（无始无终终的序列，即的序列，即 N1=－－∞ ，，N2 =∞））只有当只有当 的的时时候候 X(z) 才收才收敛敛，且收，且收敛敛域域为为一个一个环环形区域：形区域：2. Z 变换变换的收的收敛敛域域例例题题：：已知序列已知序列 x(n)=a|n|，其中，其中 a＞＞0，求，求 X(z) 。

解答：解答：显显然，如果然，如果 a＞＞1，，X(z) 将不收将不收敛敛；如果；如果 a＜＜1，，ROC：：3. Z 变换变换的零、极点的零、极点假假设设序列序列 x(n) 的的 Z 变换为变换为 X(z)，如果在，如果在 Z 平面中存在某点平面中存在某点 zi，，使得使得则则 zi 称称为为 X(z) 在在 Z 平面上的一个零点平面上的一个零点类类似的，如果在似的，如果在 Z 平面中存在某点平面中存在某点 zj，使得，使得则则 zj 称称为为 X(z) 在在 Z 平面上的一个极点平面上的一个极点如果如果 X(z) 具有有理函数形式，即具有有理函数形式，即从从上上式式很很容容易易看看出出，，在在有有限限 Z 平平面面 上上共共有有 m 个个零零点点 zi （（阶阶数数为为ρi）以及）以及 n 个极点个极点 zj （（阶阶数数为为σi）） 3. Z 变换变换的零、极点的零、极点如果如果 X(z) 具有有理函数形式，具有有理函数形式，则则其零、极点具有如下性其零、极点具有如下性质质：：n孤立性：孤立性： X(z) 的零点和极点都是孤立的收的零点和极点都是孤立的收敛敛域不包含任域不包含任何极点，但零点既可在收何极点，但零点既可在收敛敛域内，也可在收域内，也可在收敛敛域外，其位域外，其位置不受限制。

置不受限制n平衡性：如果高平衡性：如果高阶阶零点和高零点和高阶阶极点都以等于其极点都以等于其阶阶数的一数的一阶阶零点和一零点和一阶阶极点来极点来计计算，在包含无算，在包含无穷远穷远点的整个点的整个 Z 平面上平面上零点的数目等于极点的数目零点的数目等于极点的数目n充分性：在除原点外的有限充分性：在除原点外的有限 Z 平面上平面上 ，零点和极，零点和极点的数目都是有限的，并且在有限点的数目都是有限的，并且在有限 Z 平面上的零点和极点平面上的零点和极点的位置和的位置和阶阶数，完全决定了数，完全决定了 X(z) 的表的表现现形式例例题题：：求矩形窗序列求矩形窗序列 r2N+1(n) 的零、极点分布的零、极点分布解答：解答：先分析零点，令先分析零点，令 则则有有容易看出，共容易看出，共 2N+1个零点ROC：：3. Z 变换变换的零、极点的零、极点令令 m=n+N再分析极点，从分母多再分析极点，从分母多项项式来看：式来看：z=0 为为 N 阶阶极点；极点；z=1 为为一一阶阶极点，同极点，同时时 z=1 又又为为一一阶阶极点，所以极点，所以 z=1 既不是零点，既不是零点，也不是极点。

也不是极点最最终终，已知零点，已知零点总总共有共有 2N 个，极点个，极点总总共有共有 N 个，根据零、极个，根据零、极点的平衡性，无点的平衡性，无穷远穷远点是点是 N 阶阶极点3. Z 变换变换的零、极点的零、极点ImRe单单位位圆圆01Z平面平面N 阶阶极点极点X X4. Z 变换变换的性的性质质1. 线线性性性性质质 例例题题：：求求 x(n)=cos(ωn)u(n)的的 Z 变换变换 解答：解答：ROC：： R2ROC：：R1ROC：： R1 ∩ R2ROC：：ROC1：：ROC2：：4. Z 变换变换的性的性质质例例题题：：求如下序列的求如下序列的 Z 变换变换 解答：解答：由于由于线线性性组组合消去了收合消去了收敛敛域域 边边界上的极点界上的极点 z=a，只有，只有 z=0为为X(z) 的的 N-1 阶阶极点，故极点，故 X(z) 的收的收敛敛域就从两个收域就从两个收敛敛域的交集域的交集扩扩展到除展到除0外的整个外的整个 Z 平面，即平面，即 ROC：：ROC1：：ROC2：：4. Z 变换变换的性的性质质2.时时移性移性质质单边单边 Z 变换变换的的时时移性移性质质稍有不同。

稍有不同记记 X+(z) 为为 x(n) 的的单边单边 Z 变变换换，即，即 则则 x(n-k) 和和 x(n+k) 的的单边单边 Z 变换变换分分别为别为4. Z 变换变换的性的性质质如果如果 x(n) 为为因果序列，因果序列，则则有有由于由于实际实际工作中遇到的信号大部分都是因果的，因此上式工作中遇到的信号大部分都是因果的，因此上式给给出出的的时时移性移性质质是最常用的是最常用的4. Z 变换变换的性的性质质3. 复复频频移性移性质质为为了弄清楚了弄清楚 Z 变换变换复复频频移性移性质质的含的含义义，先看两种特殊情况：，先看两种特殊情况：nz 域中的旋域中的旋转转（（Z 变换变换的复正弦加的复正弦加权权性性质质））若令若令 ，，则则有有上上式式左左边边可可以以看看做做是是 x(n) 被被一一个个频频率率为为 ω0 的的复复正正弦弦信信号号调调制制，，右右边边可可以以看看做做是是 X(z)和和其其收收敛敛域域、、零零点点、、极极点点在在 Z 平平面面上上逆逆时时针针旋旋转转ω0 如如果果 X(z) 的的收收敛敛域域包包含含单单位位圆圆，，那那么么上上式式在在单单位位圆圆上所体上所体现现出来的性出来的性质质就是就是 DTFT 的的频频移性移性质质。

ROC：：ROC：：ROC：：4. Z 变换变换的性的性质质ImRe单单位位圆圆01Z平面平面X Xφ-φX(z) 的零极点的零极点图图ImRe单单位位圆圆01Z平面平面X Xφ-φω0X(zejω0n) 的零极点的零极点图图4. Z 变换变换的性的性质质nz 域中的径向比例域中的径向比例变换变换（（Z 变换变换的的实实指数加指数加权权性性质质））若若 z0 为为正正实实数，即数，即 ，，则则有有上式左上式左边边可以看做是可以看做是 x(n) 被被实实指数指数 an 调调制，右制，右边边表示表示 Z 域上的域上的径向尺度比例径向尺度比例变换变换ROC：：ImRe单单位位圆圆01Z平面平面ImRe单单位位圆圆1Z平面平面00ImRe单单位位圆圆01Z平面平面0X(z)X(z/a), a>1X(z/a), a<14. Z 变换变换的性的性质质对对于一般情况：于一般情况：上式左上式左边边表示表示 x(n) 被一般的复指数序列加被一般的复指数序列加权权，右，右边边表示表示 Z 域上域上上上 X(z) 兼有逆兼有逆时针时针旋旋转转和径向比例和径向比例变换变换两种两种变换变换。

从从上上述述讨讨论论可可知知，，有有时时域域复复指指数数序序列列加加权权导导致致的的 Z 变变换换，，已已经经不不再再是是 Z 平平面面上上简简单单的的复复频频移移，，这这也也是是与与傅傅里里叶叶变变换换相相比比 Z 变换变换的特殊之的特殊之处处ROC：：4. Z 变换变换的性的性质质4.时时域差分、累加性域差分、累加性质质及复及复频频域微分性域微分性质质ROC：：ROC：：时时域差分：域差分：ROC：：ROC：：时时域累加：域累加：ROC：：ROC：：复复频频域微分：域微分：4. Z 变换变换的性的性质质证证明明（复（复频频域微分性域微分性质质）：）：复复频频域微分性域微分性质质又称又称为线为线性加性加权权性性质质4. Z 变换变换的性的性质质5.卷卷积积性性质质（（时时域）域）证证明：明：Z 变换变换的的这这一一时时域卷域卷积积性性质质与傅里叶与傅里叶变换变换完全一致完全一致ROC：： R2ROC：：R1ROC：：4. Z 变换变换的性的性质质6. 对对称性称性质质证证明：明：ROC：：ROC：：ROC：：ROC：：4. Z 变换变换的性的性质质上述上述对对称性称性质质表明：表明：nx(n) 时时域反域反转导转导致致 Z 平面上平面上 X(z) 的收的收敛敛域以域以单单位位圆为圆为基准基准向外反向外反转转，原来，原来 X(z) 的零点的零点 pi 和极点和极点 qi 分分别变别变成成 X(1/z) 的的零点零点 1/pi和极点和极点 1/qi；； nx(n) 时时域共域共轭导轭导致致 X(z) 的零极点关于的零极点关于实轴实轴上、下反上、下反转转，收，收敛敛域不域不变变；；nx(n) 时时域既反域既反转转又共又共轭轭，， X(z) 的收的收敛敛域和域和单单位位圆圆兼有以上两兼有以上两种种变换变换。

根据根据对对称性称性质质：：可知，如果可知，如果 x(n) 为为偶序列或奇序列，即偶序列或奇序列，即 或或则则有有 或或这这就表明，就表明， X(z) 的收的收敛敛域是域是 Z 平面上以平面上以单单位位圆为圆为准的反比准的反比对对称称圆环圆环，其零极点在，其零极点在 Z 平面上以平面上以单单位位圆为圆为准反比准反比对对称分布4. Z 变换变换的性的性质质ROC：：ROC：：ROC：：根据根据对对称性称性质质：：可知，如果可知，如果 x(n) 为实为实序列或序列或纯纯虚序列，即虚序列，即 或或则则有有 或或这这就表明，就表明， X(z) 的零极点在的零极点在 Z 平面上具有共平面上具有共轭对轭对称性4. Z 变换变换的性的性质质ROC：：ROC：：根据根据对对称性称性质质：：可知，如果可知，如果 x(n) 为实为实偶序列，即偶序列，即 则则有有这这就就表表明明，， X(z) 的的收收敛敛域域是是 Z 平平面面上上以以单单位位圆圆为为准准的的反反比比对对称称圆圆环环；；X(z) 的的零零极极点点分分布布在在 Z 平平面面上上关关于于实实轴轴和和单单位位圆圆都都呈呈镜镜像像对对称分布。

称分布4. Z 变换变换的性的性质质ROC：：ROC：：4. Z 变换变换的性的性质质ImRe单单位位圆圆1Z平面平面ImRe单单位位圆圆01Z平面平面X XX XX XX XImRe单单位位圆圆01Z平面平面X XX XX XX Xx(n) 为实为实偶序列偶序列x(n) 为实为实序列序列x(n) 为为偶序列偶序列7. 初初值值定理定理如果如果 x(n) 为为因果序列，因果序列，则则其初始其初始值值可由下式求得：可由下式求得： 其中其中 X(z) 为为 x(n) 的的 Z 变换变换证证明：明：例如：例如：4. Z 变换变换的性的性质质ROC：：8. 终值终值定理定理如果如果 x(n) 为为因果序列，且其因果序列，且其 Z 变换变换的极点位于的极点位于单单位位圆圆内（内（单单位位圆圆上最多在上最多在 z=1 处处有一个一有一个一阶阶极点），极点），则则有有 其中其中 X(z) 为为 x(n) 的的 Z 变换变换证证明：明：令令 ，，则则同同时还时还有有4. Z 变换变换的性的性质质因此有：因此有：两两边边同同时对时对 z=1 取极限取极限从从推推导导过过程程可可以以看看出出，，终终值值定定理理只只有有当当 时时 x(n) 收收敛敛才才可可以以应应用用，，这这也也就就是是要要求求 X(z) 的的极极点点位位于于单单位位圆圆内内（（单单位位圆圆上上最最多多在在 z=1 处处有有一一个个一一阶阶极极点点））的的原原因因。

如如果果已已知知序序列列 x(n) 的的 Z变变换换，，就就可可以以利利用用初初值值定定理理和和终终值值定定理理方方面面的的计计算算出出序序列列的的初初值值 x(0) 和和终值终值x(∞) 4. Z 变换变换的性的性质质根根据据 Z 变变换换与与 DTFT 的的关关系系，，反反 Z 变变换换可可由由 DTFT 的的反反变变换换推推导导而而来来假假设设 x(n) 的的 Z 变变换换为为 X(z)，，在在 X(z) 的的收收敛敛域域 RF 内内任任取一点取一点 ，，则则有有根据根据 DTFT 的反的反变换变换公式公式两端同两端同时时乘以乘以 rn 得：得：5. 反反 Z 变换变换DTFT：：由由 可可知知 ，，即即 由由于于上上式式的的积积分分是是对对 ω 上上任任意意一一个个 2π 区区间间进进行行的的，，变变成成对对 z 的的积积分分后后，，则则为为逆逆时时针针沿沿 |z|=r 的的圆圆周周（（记记作作 c））的的曲曲线线积积分分，，这这样样就就得得到到如如下下的反的反 Z 变换变换公式：公式： 上述公式上述公式说说明，序列明，序列 x(n) 可由其可由其 Z 变换变换 X(z) 经经复指数序列加复指数序列加权权后的曲后的曲线积线积分求得。

分求得5. 反反 Z 变换变换反反 Z 变换变换公式：公式：求解上式可利用留数定理求解上式可利用留数定理设设 zm 是被是被积积函数函数 X(z)zn-1 在在闭闭合曲合曲线线c 内的一内的一组组极点，根据留数定理，极点，根据留数定理，x(n) 等于等于 c 内全部极点的留数内全部极点的留数之和，即之和，即其中其中5. 反反 Z 变换变换（一（一阶阶极点）极点）（（k 阶阶极点）极点）习题习题：：求求 的逆的逆变换变换，，ROC：： 解答：解答：被被积积函数函数 X(z)zn-1 为为当当 n = 0 时时，， X(z)zn-1 有有 3 个极点，即个极点，即z=0, z=1和和 z=0.6，所以，所以5. 反反 Z 变换变换当当 n ≥ 1 时时，， X(z)zn-1 有有 2 个极点，即个极点，即z=1 和和 z=0.6，所以，所以即即5. 反反 Z 变换变换习题习题：：求求 的逆的逆变换变换，，ROC：： ，其中，其中 。

解答：解答：被被积积函数函数 X(z)zn-1 为为当当 n ≥ 0 时时，， X(z)zn-1 在在 c 内有内有 1 个极点，即个极点，即 z=a，所以，所以当当 n < 0时时，， X(z)zn-1 在在 c 内只有内只有 2 个极点，即个极点，即 z=0 和和 z=a，其中，其中z=0 为为 n 阶阶极点下一步极点下一步5. 反反 Z 变换变换?如果如果闭闭合曲合曲线线 c 内有多内有多阶阶极点，而极点，而 c 外没有多外没有多阶阶极点，极点，为为避免求避免求多多阶阶极点的麻极点的麻烦烦，可以利用留数，可以利用留数辅辅助定理，即改求助定理，即改求 c 外的极点留外的极点留数之和并求符号数之和并求符号假假设设 c 内有内有 p 个极点个极点zp，， c 外有外有 q 个极点个极点 zq ，，则则有有即即5. 反反 Z 变换变换当当 n < 0时时，， X(z)zn-1 在在 c 内有内有 2 个极点，即个极点，即 z=0 和和 z=a，在，在 c 外外只有只有 1 个极点个极点 z=1/a，，所以所以最后得最后得5. 反反 Z 变换变换习题习题：：求求x(n)=anu(n) 的的 Z 变换变换，其中，其中 a 为为常数，常数，u(n) 为单为单位位阶阶跃跃函数。

函数解答：解答：如果有如果有 ，即，即 则则上式收上式收敛敛，于是，于是习题习题：：求求 y(n)=－－anu(－－n－－1) 的的 Z 变换变换，其中，其中 a 为为常数，常数，u(n) 为为单单位位阶跃阶跃函数解答：解答：如果有如果有 ，即，即 则则上式收上式收敛敛，于是，于是5. 反反 Z 变换变换如果序列如果序列 x(n) 的的 Z 变换变换 X(z) 具有有理函数形式，可将具有有理函数形式，可将 X(z) 写成写成部分分式形式，即有部分分式形式，即有n如果如果 x(n) 为为右右边边序列，序列，则则：：n如果如果 x(n) 为为左左边边序列，序列，则则：：5. 反反 Z 变换变换n如如果果 x(n) 为为双双边边序序列列，，需需要要根根据据给给定定的的收收敛敛域域小小心心处处理理假假设设 X(z)的的收收敛敛域域为为 ，，其其中中 pi 是是 R-以以内内的的极极点点，， qi 是是 R+ 以外的极点，以外的极点，则则有有所求的所求的 x(n) 为为：：5. 反反 Z 变换变换部分分式法求反部分分式法求反 Z 变换变换的步的步骤骤:1.将将 X(z) 化化为为如下形式如下形式2.将将 X(z)/z 展开展开为为部分分式部分分式3.分分别别求得各求得各项对应项对应的原函数，然后将各原函数相加，即的原函数，然后将各原函数相加，即为总为总的原函数。

的原函数5. 反反 Z 变换变换习题习题：：求求 的逆的逆变换变换，，ROC：：解答：解答：步步骤骤1：：步步骤骤2：：步步骤骤3：：5. 反反 Z 变换变换长长除除法法（（幂幂级级数数法法））：：按按照照 Z 变变换换的的定定义义，，如如果果能能用用长长除除法法将将X(z) 写写成成幂幂级级数数形形式式，，则则级级数数中中的的系系数数就就是是原原函函数数 x(n) 一一般般来来讲讲，，对对于于给给定定的的 Z 变变换换 X(z)，，可可以以根根据据它它的的收收敛敛域域判判断断序序列列x(n) 是是左左边边、、右右边边还还是是双双边边序序列列如如果果 x(n) 是是左左边边序序列列，，就就把把 X(z) 展展开开成成 z 的的幂幂级级数数；；如如果果 x(n) 是是右右边边序序列列，，就就把把 X(z) 展展开开成成 z-1 的的幂幂级级数数；；如如果果 x(n) 是是双双边边序序列列，，就就把把 X(z) 展展开开成成既既包包含含 z 又包含又包含 z-1 的的幂级幂级数5. 反反 Z 变换变换习题习题：：求求 的逆的逆变换变换，，ROC：：解答：解答：由收由收敛敛域判断域判断 x(n) 为为右右边边序列，序列，应该应该展开成展开成 z-1 的的幂级幂级数数5. 反反 Z 变换变换可以采用如下方式可以采用如下方式对对一个离散一个离散 LSI 系系统进统进行描述：行描述：其中其中 h(n)、、H(jω) 和和 H(z) 分分别别称称为为系系统统的的单单位冲激响位冲激响应应、、频频率响率响应应和系和系统统函数，且存在如下关系：函数，且存在如下关系：亦即亦即 H(jω) 是是 h(n) 的的 DTFT，，H(z) 是是 h(n) 的的 Z 变换变换。

6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数h(n)x(n) H(jω)H(z)y(n), y(n),= =x(n)*h(n) X(jω)Y(jω), Y(jω)= X(jω) H(jω)X(z)Y(z), Y(z)= X(z) H(z)还还可以常系数差分方程可以常系数差分方程对对一个离散一个离散 LSI 系系统进统进行描述：行描述：该该差分方程差分方程为为 N 阶阶差分方程差分方程对对上式两上式两边边取取 Z 变换变换，得，得亦即亦即 H(z) 还还可以定可以定义为义为系系统统的的输输出、出、输输入信号的入信号的 Z 变换变换之比6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数若若 a(k)=0, k=0, 1, 2, … , N, 则则该该系系统统的的单单位冲激响位冲激响应为应为即即h(0)=b(0), h(1)=b(1), … , h(M)=b(M), h(n) ≡0, 对对 n>M该该系系统统的的单单位位冲冲激激响响应应 h(n) 为为有有限限长长，，因因此此该该系系统统称称为为有有限限冲冲激激响响应应系系统统（（FIR））FIR 系系统统中中当当前前的的输输出出只只取取决决于于当当前前和和过过去去的的输输入，而与入，而与过过去的去的输输出无关。

出无关6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数习题习题：：求系求系统统 的的单单位冲激响位冲激响应应其中 b(0)、、b(1) 、、b(2) 为为常数解答：解答： 由定由定义义，将，将 x(n) 换换成成 δ(n) 所以所以 6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数若若 a(k), k=0, 1, 2, … , N 不全不全为为零零则输则输入端包含入端包含输输出端的反出端的反馈馈，因此系，因此系统统的的单单位冲激响位冲激响应应 h(n) 为为无限无限长长，，该该系系统统称称为为无限冲激响无限冲激响应应系系统统（（IIR）IIR 系系统统中当中当前的前的输输出不但取决于当前和出不但取决于当前和过过去的去的输输入，而且入，而且还还取决于取决于过过去的去的输输出过过去的去的输输出出对对当前当前输输出的作用可以看做是一种反出的作用可以看做是一种反馈馈，因此，因此 IIR 系系统统一旦被激一旦被激发发后，其后，其输输出序列理出序列理论论上无限上无限长长的6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数习题习题：：求系求系统统 的的单单位冲激响位冲激响应应，其中，其中 a 为为常数，初始条件常数，初始条件为为 h(−1) = 0。

解答：解答： 由定由定义义及初始条件可知及初始条件可知: 6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数回回忆单忆单位冲激响位冲激响应应在在 LSI 系系统统分析中的作用：分析中的作用：n记忆记忆性性 连续时间连续时间和离散和离散时间时间 LSI 系系统统的的记忆记忆性判据分性判据分别别是：是：n因果性因果性 连续时间连续时间和离散和离散时间时间 LSI 系系统统的因果性判据分的因果性判据分别别是：是：n稳稳定性定性 连续时间连续时间和离散和离散时间时间 LSI 系系统统的的稳稳定性判据分定性判据分别别是：是：6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数或或或或或或系系统统函数在离散函数在离散时间时间 LSI 系系统统分析中的作用：分析中的作用：n记忆记忆性：系性：系统统函数等于一个复常数，收函数等于一个复常数，收敛敛域域为为整个整个 Z 平面n因果性：收因果性：收敛敛域包含无域包含无穷远处穷远处，即，即 n稳稳定性：收定性：收敛敛域包含域包含单单位位圆圆n因果因果稳稳定性：所有极点均分布于定性：所有极点均分布于单单位位圆圆内。

内6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数习题习题：：系系统统函数函数为为 其中其中 ，分析，分析该该系系统统的因果性及的因果性及稳稳定性，并求出定性，并求出 h(n)解答：解答：H(z) 有两个极点，分有两个极点，分别为别为 z1=1/a, z2=a，把，把 H(z) 展开成部展开成部分分式形式分分式形式n收收敛敛域域为为 时时：收：收敛敛域包含无域包含无穷远穷远，因此，因此为为因果系因果系统统；收；收敛敛域不包含域不包含单单位位圆圆，， 因此因此为为非非稳稳定系定系统统h(n) 为为：： 6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数n收收敛敛域域为为 时时：收：收敛敛域不包含无域不包含无穷远穷远，因此，因此为为非因果非因果系系统统；收；收敛敛域不包含域不包含单单位位圆圆，， 因此因此为为非非稳稳定系定系统统 h(n) 为为：：n收收敛敛域域为为 时时：收：收敛敛域不包含无域不包含无穷远穷远，因此，因此为为非因非因果系果系统统；收；收敛敛域包含域包含单单位位圆圆，， 因此因此为稳为稳定系定系统统。

h(n) 为为：： 6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数对对系系统统函数的分子、分母多函数的分子、分母多项项式分式分别别作因式分解，得作因式分解，得式中式中g称称为为系系统统的增益因子，的增益因子，zk为为极点，极点， zr 为为零点令 z=ejω，即，即 z 在在单单位位圆圆上取上取值值，，则则上式上式变为变为：： 6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数习题习题：：系系统统函数函数为为 其中其中 ，求，求该该系系统统的的频频率响率响应应、幅、幅频频响响应应和相和相频频响响应应解答：解答：已知条件表明已知条件表明该该系系统为统为因果因果稳稳定系定系统统，由系，由系统统函数可知函数可知该该系系统统有一个极点有一个极点 z=a 和一个零点和一个零点z=0频频率响率响应应：：幅幅频频响响应应：：相相频频响响应应6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数ROC：：ImRe单单位位圆圆0Z平面平面…..z=ejω0aX X幅幅频频响响应应：：相相频频响响应应：： 6. LSI 系系统统的系的系统统函数函数02πω1/(1-a)π02πω0π。