概率论与数理统计知识点总结详细.doc

"概率论与数理统计"第一章概率论的根本概念2§2．样本空间、随机事件2§4等可能概型〔古典概型〕3§5．条件概率3§6．独立性3第二章随机变量及其分布3§1随机变量3§2离散性随机变量及其分布律3§3随机变量的分布函数3§4连续性随机变量及其概率密度3§5随机变量的函数的分布3第三章多维随机变量3§1二维随机变量3§2边缘分布3§3条件分布3§4相互独立的随机变量3§5两个随机变量的函数的分布3第四章随机变量的数字特征3§1．数学期望3§2方差3§3协方差及相关系数3第五章大数定律与中心极限定理3§1．大数定律3§2中心极限定理3第一章概率论的根本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系那么称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件发生，那么称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，根本领件是两两互不相容的，那么称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2．运算规那么交换律结合律分配律徳摩根律§3．频率与概率定义在一样的条件下，进展了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P〔A〕，称为事件的概率1．概率满足以下条件：〔1〕非负性：对于每一个事件A 〔2〕规性：对于必然事件S 〔3〕可列可加性：设是两两互不相容的事件，有〔可以取〕2．概率的一些重要性质：〔i〕〔ii〕假设是两两互不相容的事件，那么有〔可以取〕〔iii〕设A，B是两个事件假设，那么，〔iv〕对于任意事件A，〔v〕〔逆事件的概率〕〔vi〕对于任意事件A，B有§4等可能概型〔古典概型〕等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性一样假设事件A包含k个根本领件，即，里§5．条件概率（1） 定义：设A,B是两个事件，且，称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

非负性：对于某一事件B，有 2规性：对于必然事件S，3可列可加性：设是两两互不相容的事件，那么有（3） 乘法定理设，那么有称为乘法公式（4） 全概率公式：贝叶斯公式：§6．独立性定义设A，B是两事件，如果满足等式，那么称事件A,B相互独立定理一设A，B是两事件，且，假设A，B相互独立，那么定理二假设事件A和B相互独立，那么以下各对事件也相互独立：A与第二章随机变量及其分布§1随机变量定义设随机试验的样本空间为是定义在样本空间S上的实值单值函数，称为随机变量§2离散性随机变量及其分布律1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量满足如下两个条件〔1〕，〔2〕=12． 三种重要的离散型随机变量〔1〕分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是，那么称X服从以p为参数的分布或两点分布〔2〕伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果：A与，那么称E为伯努利实验.设，此时.将E独立重复的进展n次，那么称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验满足条件〔1〕，〔2〕=1注意到是二项式的展开式中出现的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。

〔3〕泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为其中是常数，那么称X服从参数为的泊松分布记为§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数分布函数，具有以下性质(1) 是一个不减函数〔2〕〔3〕§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F〔x〕，存在非负可积函数，使对于任意函数x有那么称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度具有以下性质，满足〔1〕；〔3〕；〔4〕假设在点x处连续，那么有2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布假设连续性随机变量X具有概率密度，那么成X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为 (2)指数分布假设连续性随机变量X的概率密度为其中为常数，那么称X服从参数为的指数分布〔3〕正态分布假设连续型随机变量X的概率密度为的正态分布或高斯分布，记为特别，当时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度又设函数处处可导且恒有，那么Y=是连续型随机变量，其概率密度为第三章多维随机变量§1二维随机变量定义设E是一个随机试验，它的样本空间是和是定义在S上的随机变量，称为随机变量，由它们构成的一个向量〔X，Y〕叫做二维随机变量设〔X，Y〕是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量〔X，Y〕的分布函数如果二维随机变量〔X，Y〕全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，那么称〔X，Y〕是离散型的随机变量。

我们称为二维离散型随机变量〔X，Y〕的分布律对于二维随机变量〔X，Y〕的分布函数，如果存在非负可积函数f〔x，y〕，使对于任意x，y有那么称〔X，Y〕是连续性的随机变量，函数f〔x，y〕称为随机变量〔X，Y〕的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度§2边缘分布二维随机变量〔X，Y〕作为一个整体，具有分布函数.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为，依次称为二维随机变量〔X，Y〕关于X和关于Y的边缘分布函数分别称为〔X，Y〕关于X和关于Y的边缘分布律分别称，为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度§3条件分布定义设〔X，Y〕是二维离散型随机变量，对于固定的j，假设那么称为在条件下随机变量X的条件分布律，同样为在条件下随机变量X的条件分布律设二维离散型随机变量〔X，Y〕的概率密度为，〔X，Y〕关于Y的边缘概率密度为，假设对于固定的y，〉0，那么称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为=§4相互独立的随机变量定义设及，分别是二维离散型随机变量〔X，Y〕的分布函数及边缘分布函数.假设对于所有x,y有，即，那么称随机变量X和Y是相互独立的对于二维正态随机变量〔X，Y〕，X和Y相互独立的充要条件是参数§5两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度.那么Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为或又假设X和Y相互独立，设〔X，Y〕关于X，Y的边缘密度分别为那么和这两个公式称为的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度，那么仍为连续性随机变量其概率密度分别为又假设X和Y相互独立，设〔X，Y〕关于X，Y的边缘密度分别为那么可化为3设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为由于不大于z等价于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互独立，得到的分布函数为的分布函数为第四章随机变量的数字特征§1．数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为，k=1,2，…假设级数绝对收敛，那么称级数的和为随机变量X的数学期望，记为，即设连续型随机变量X的概率密度为，假设积分绝对收敛，那么称积分的值为随机变量X的数学期望，记为，即定理设Y是随机变量X的函数Y=(g是连续函数)〔i〕如果X是离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2，…假设绝对收敛那么有〔ii〕如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为，假设绝对收敛那么有数学期望的几个重要性质1设C是常数，那么有2设X是随机变量，C是常数，那么有3设X,Y是两个随机变量，那么有；4设X，Y是相互独立的随机变量，那么有§2方差定义设X是一个随机变量，假设存在，那么称为X的方差，记为D〔x〕即D〔x〕=，在应用上还引入量，记为，称为标准差或均方差。

方差的几个重要性质1设C是常数，那么有2设X是随机变量，C是常数，那么有，3设X,Y是两个随机变量，那么有特别，假设X,Y相互独立，那么有4的充要条件是X以概率1取常数，即切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望，那么对于任意正数，不等式成立§3协方差及相关系数定义量称为随机变量X与Y的协方差为，即而称为随机变量X和Y的相关系数对于任意两个随机变量X 和Y，协方差具有下述性质12定理 1 2 的充要条件是，存在常数a,b使当0时，称X和Y不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布，二项式分布，泊松分布几何分布均匀分布，指数分布正态分布第五章大数定律与中心极限定理§1．大数定律弱大数定理〔辛欣大数定理〕设X1，X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望.作前n个变量的算术平均，那么对于任意，有定义设是一个随机变量序列，a是一个常数，假设对于任意正数，有，那么称序列依概率收敛于a，记为伯努利大数定理设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，那么对于任意正数〉0，有或§2中心极限定理定理一〔独立同分布的中心极限定理〕设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差〔k=1,2，…〕，那么随机变量之和，，定理二〔雅普诺夫定理〕设随机变量…相互独立，它们具有数学期望和方差记定理三〔棣莫弗-拉普拉斯定理〕设随机变量〕的二项分布，那么对任意，有. z.。