我们了解了圆的概念之后.doc

九、圆（二）我们了解了圆的概念之后，现在进一步研究圆的特点和性质.我们将圆周平均分成360份，每一份圆弧叫做1°弧（读作“一度弧”）.l°弧所对的圆心角（顶点在圆心的角叫圆心角，如图1所示）叫做1°的角.因而圆心角最大是360°，在同一个圆或相等圆上，相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆上，相等的弦（圆上两点间所连的线段）所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弦也相等.前面讲到的圆内接正多边形，它们的各边都是圆上的等弦，所以所对的圆心角相等.正六边形最具有典型意义，它的各边对应的圆心角都是60°，因此得到六个等边三角形（三条边都相等的三角形）.请同学们自己推出这个结果.现在我们取圆的一部分，它的形状就像一把打开的扇子，如图2，所以我们称它为扇形扇形也有弧长、面积两个量，这两个量都与扇形中弧的度数（或者说弧所对应的圆心角的度数，即如图3中ZAOB的度数）有关我们设扇形的弧是n即么扇形弧的长度为上匚;才上込其中R是扇形的半径，扇形的面积为这是因为将圆分成顶等份，每一份都是一个小扇形，如图3此时小扇形的弧是1°的弧，它的长应该是瓷（把圆周长分成站0等份），那么n弧就是取n份，故得罟•同理，1°弧所对应的小扇形面积应是詈］那么n。

弧所对应的扇形面积是勢，我们用字母俵示弧长，用$表示面积，得到公式：L'^：：：ISO,Ssi=36.0从以上两个公式我们还可以发现：现在我们若将图4中A、B两点连一条线段，则把扇形分成了两部分，下面是一个三角形，上面的图形我们称之为弓形图0團4弓形是由一条弧和它所对的弦组成,下面三个圆中的阴影部分都是弓形图5中的弓形弧小于半圆弧，它的面积二扇形ABC的面积减去二角形AB0的面积；图中的弓形弧等于半圆弧，它的面积为半圆面积；图中的弓形弧大于半圆弧，它的面积二扇形ABC的面积弓加三角形ABO的面积例1有一个半径为啲大圆和一些半径为*的小圆.现在要用这些小圆将大圆盖住，至少要用多少个小圆？分析与解要将大圆盖住，首先要将大圆的圆周盖住.由于大圆的半径是小圆半径的2倍，即大圆的半径等于小圆的直径，故此我们想到正六边形的性质“边长与半径相等”，可用六个小圆就能盖住大圆周.现在还剩下中间部分没有盖住，但中间这个图形的六个顶点恰好在一个直径为1的圆周上，所以再用一个小圆就可以把这个图形盖住.所以将大圆盖住至少要用七个小圆（如图8）所示例如图，ZA0B=45求空白部分面积及阴影部分的周长分析与解空白部分的面积由两部分组成，半径为3的小扇形面积可直接用公式求出.另一部分则要由整个大扇形面积减去半径为8的扇形面积再加半径为3的扇形面积得到；阴影部分的周长是由四部分组成，即两条弧和两条线段。

由公式*勢丄厂需空白部疥面积360'圈8图93.14x45x.0+.5)j彳3.14^45x3j5SQ'—寸3?Q3.14^-45;x(10?--82+罗『360=17.6^25；阴影部分周长二斗产+竺竺护^+小180；=3.14x45x(3+8)+io=i3.d5，例3在半径是8厘米的圆中，弓形弧的度数为60°，弓形的高(弓形弧的中点到弦的垂直线段的长)是2厘米，求弓形的面积分析与解如图10，要求弓形面积，即由扇形面积减去三角形面积.扇形面积可由已知直接求出，三角形面积不能直接求出.由弓形弧的度数为60°，即弓形弧所对圆心角为60°,所以三角形AOB是等边三角形.由匝中点C与圍心0的连线段G0交AB弦于D点，那么疋为,即ZA0C为30°,所以ZAD0=90°,CD=2厘米，CO=半径二厘米，则DO=6厘米，这样三角形面积就可以求出了即：J360ra-2n3.14373^037/=S腐-皆运芫丁-：朗=芥］〔平方厘米）例如图11（）,©0（读作圆O）的半径是1厘米.ZA0B=90ZC0D=120°,CD=26厘米，求阴影面积H0分析与解阴影部分是用弓形C啲面积减去小弓形A啲面积，弓形A啲面积可由已知条件直接求出•弓形C啲面积要用到三角形C.OD的面积，它的底边CD已知.底边上的高注有直接给岀.我们取.厲0的中点H,连结HO与CD交于K点，如图11（）则ZCOH=ZDOH=6O°,所以ZCK0=90。

因为ZOCK=ZODK=3O°）.若连结CH、DH,得到两个等边三角形CHO及DH6所以弓形AmE的面积=弓I*】宁況财15x1536.0弓形:伽D的面积二3.14x152：:'xT2036026x75阴影面积=1—37平3方.厘8米7)例有两个半圆与两个圆位置如图所示，圆A的半径为厘米,©B的半径为厘米，0的直径是B的直径和，0C的直径是O的半径，求阴影部分的面积与空白部分的面积比團住分析与解空白部分的面积是A面积的一半加上B面积的一半加上©C的面积而整个大圆面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积，有了这两部分的面积数值，它们的比值也就可以求出来了.计算时数值中可保留n，不必取乘出来，因为计算比值时，n可以约掉这里空白部分面积用表示，阴影部分面积用表示练习九1如.图1，3两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，弦约等于厘米，半径为厘米，求阴影部分的面积已知如图所示，阴影（弓形）的面积（n取C并且小阴影面积为，求大1413图143.如图15所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形如图16,A与是两条垂直的直径，圆O的半径为1厘米，AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧「求阴影部分面积。

圄15g16图IT如图1，求阴影部分的面积，其中OA是正方形练习九匕124扌平方厘米.°阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了由已知若分别连结AO,AO，OOOO,如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则12ZAOO=Z（0=60°，即ZAO=120°21212这样就可以求出以0为圆心的扇形AOC的面积，然后再减去三212角形A0的面积，就得到弓形面积，三角形A0的面积就是二分之一22底乘高，底是弦A，高是00的一半12即：阴影:面积=2译5严'10'_'3.14xl0^12017XV1=209；;-85'-：124|（平方厘米）2.22.1要求出弓形面积，只要用半圆的面积减去空白图形的面积，而空白图形的面积又等于扇形的面积减去小阴影部分的面积扇形ABC面积=竺孚空=3.14X12=3.空白图形的面积=37.6—83.26=34.42则弓形面积=.—24.42=22.13.412平方厘米所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积正六边•形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，由扇形面积公式$屈=雾可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°,那么ZAOC=12O°，又知四边形ABC是平行四边形,所以ZABC=120°，这样就得求出扇形的面积。

阴影面积=1040：-&蒸=1040—62=412（平方厘米）4.225平方厘米=225（平方厘米）注解：由等积式：ACXBC=ABXOC，则ACXAC=ABXOC，即AC?=30X155.10.26连OE,则OE是圆半径，正方形面积为（：j0B）=|ob2"=-|x.62=18,扇形面积==：；加=聪所以阴影部分面积以兀-18=9X3.14-18=10.26。