信号与系统第五章-2.ppt

第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,教学提示：通过将周期信号展开成傅里叶(Fourier)级数，引入周期信号的频谱分析将非周期信号看成是周期信号的极限情况，由傅里叶级数引出了傅里叶变换在常用非周期信号的频谱分析基础上，分析了频域中信号通过系统时的响应，并着重介绍了系统的频率响应最后介绍了信号抽样与恢复、无失真传输、低通滤波器等系统分析的内容 教学要求：对于信号的频域分析部分，应遵循周期信号与非周期信号的频域分析这一线索，熟练掌握傅里叶级数和傅里叶变换的概念、性质和它们之间的联系系统的频域分析部分，应了解在频域中分析系统的优越性在系统频域分析基本方法的基础上，理解理想低通、高通和带通滤波器及无失真传输条件的概念，熟练掌握抽样定理的内容，并理解抽样信号频谱与原信号频谱之间的关系以及与此相关的应用内容信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,目录,5.1 周期信号的频谱分析 ——傅里叶级数 5.2 周期信号的频谱分析 5.3 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 5.4 周期信号的傅里叶变换 5.5 连续时间LTI系统的频域分析 5.6 信号的抽样与恢复 5.7 连续时间信号与系统频域分析的MATLAB实现,至尊娱乐城,5.1 周期信号的频谱分析 ——傅里叶级数,周期信号可以在完备正交函数集中展开成无穷级数。

由于三角函数集和虚指数函数集都是完备正交函数集，所以周期信号既可以展开成三角形式的傅里叶级数，也可以展开成指数形式的傅里叶级数下面将分别加以介绍信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,5.1.1 三角形式的傅里叶级数,平面或空间中以坐标原点为起始点的任一向量，都可以分解为二维或三维正交矢量的线性组合，各正交矢量的系数就是该向量在各矢量方向上的投影，亦即向量末端点的坐标对于一个向量而言，这种分解是充分和唯一的，即这种正交矢量集是完备的 如果将向量换成周期信号，正交矢量集换成正交函数集，可以证明，只要正交函数集是完备的，则周期信号表示成正交函数集的线性组合也是成立的，且是唯一的信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,1. 周期信号及其基本参数,周期信号是定义在 上，每隔一定时间 就按相同规律重复变化的信号，即 其中， 为整数， 为满足上式的最小正数，称为信号 的基波周期 称为信号 的基波角频率， 称为信号的基波频率 信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,需要注意的是： (1) 周期信号的定义域为整个时间轴； (2) 将定义域为有限时间范围的信号在时间轴的两个方向分别作周期性延拓，也可得到周期信号，如图5.1所示。

常见的周期信号有正弦信号和虚指数信号，即和,,,图5.1 信号的周期延拓,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,2. 三角形式的傅里叶级数 三角函数集在区间内满足以下关系：,,,,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,式中，和均为正整数； 上式说明三角函数集是正交函数集由于三角函数集中的元素有无穷多个，所以三角函数集是完备正交集也就是说，任意一个周期信号 均可展开成傅里叶级数，但前提是必须满足以下的狄里赫利条件： (1) 在一个周期内绝对可积； (2) 在一个周期内的断点数是有限的； (3) 在一个周期内的极值点数是有限的由于一般的周期信号都满足狄里赫利条件，所以以后不再提及 由以上的讨论可知，任意一个周期信号均可以展开成以下的傅里叶级数,,,,,,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,由以上的讨论可知，任意一个周期信号均可以展开成以下的傅里叶级数(5-1) 式(5-1)就是周期信号 在区间 上的三角级数展开式其中，第一项为直流分量，第二项为各种频率的交流分量。

分别用函数和 去乘式(5-1)的两端，并在区间上进行积分，由三角函数集的正交特性可得(5-2),,,,,,,,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,在式(5-2)的第一项中，取 可得(5-3) 由式(5-3)可知，周期信号 的平均值为(5-4) 也就是周期信号的直流分量，也是三角形式的傅里叶级数常数项的物理意义 在式(5-1)中，每一种频率分量均由两项构成，可以合并成一项 ( 5-5),,,,,,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,式中， 为 次谐波振幅； 为 次谐波初相位； 为 次谐波分量的角频率，当 时即为基波分量的角频率 式中， (5-6) ，由式(5-5)可以看出，任一周期信号均可以表示成一个直流分量和无限多个谐波分量之和然而，实际分析中不可能选取无穷多项谐波分量来表示周期信号，一般是在允许的误差范围内，选取足够多项就可以了，即,,,,,,,,,,,,,,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,【例5-1】 求图5.2所示标准方波信号的傅里叶级数展开式。

解：由图5.2可以看出，该方波信号的周期为 在一个周期内， 的表达式为(5-8)图5.2 标准方波信号 其傅里叶系数为(5-9),,,,,,信号与系统,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,,(5-11),(5-10),该方波信号的傅里叶级数展开式为,式中,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,如果选用式(5-12)中的前N项和来逼近图5.2所示的标准方波信号，则有(5-13) 当N为不同值时的逼近效果如图5.3所示图5.3 标准方波信号的逼近效果,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,图5.3为一个周期内的逼近结果，其周期 由图5.3可以看出，N越大，函数逼近的精度就越高，但在断点处有超调峰值存在，且该峰值并不随N的增大而减小，当方波信号的幅度为1时，该峰值约为1.09，这种现象称为Gibbs现象5.1.2 指数形式的傅里叶级数 三角形式的傅里叶级数由一个直流项和无穷多个不同频率的交流分量(余弦量)组成通过欧拉公式，可以将三角形式的傅里叶级数变换成指数形式的傅里叶级数另一方面，由于指数函数集也是完备正交函数集，所以，任意一个周期信号可以表示成无穷多个不同频率的虚指数信号的线性组合，即可展开成指数形式的傅里叶级数。

第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,1. 由三角形式的傅里叶级数到指数形式的傅里叶级数,由上一节的讨论我们已经知道，任意一个周期信号均可展开成傅里叶级数将式(5-5)重写如下(5-14) 由欧拉公式有,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,式(5-15)即为指数形式的傅里叶级数，其中(5-16)将式(5-2)代入式(5-16)有(5-17),,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,在式(5-17)中，令有(5-18)同理可得 (5-19)式(5-17)和式(5-18)为指数形式傅里叶级数的系数计算公式由式(5-16)或式(5-17)可知， 一般为复数当 为实信号时，由式(5-16)及式(5-17)和式(5-19)可立即得到如下结论(5-20),,,,,,,从而有,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,因为(5-22) 所以(5-23)2. 由指数函数集的正交性到指数形式的傅里叶级数 指数函数集 的元素为无数个不同角频率的虚指数函数在区间 内，其各个频率分量具有如下关系(5-24)其中 (5-25),,,,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,式中，m，n均为整数； 为指数函数的基波周期。

上式说明指数函数集是正交函数集由于指数函数集中的元素为无穷多个，所以指数函数集也是完备正交集任意一个周期信号可以表示成指数函数集的线性组合，即展开成指数形式的傅里叶级数，而且这种表示(展开)是唯一的，即(5-26)用 乘以式(5-26)的两端，并在区间 上进行积分，由指数函数集的正交性，可求得系数 为(5-27),,,,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,由此可推出式(5-18)～式(5-23)的结果另外，由指数形式傅里叶级数的系数表达式(5-27)还可以得到三角形式傅里叶级数的系数表达式 设(5-28) 结合式(5-27)有(5-29)故(5-30)其中(5-31),,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,在周期信号的频谱分析中，一般使用指数形式的傅里叶级数，原因有两个方面：一是计算量小(只计算一个系数)，二是其表达形式非常简洁(虽然往往是复数)，便于进行信号的频谱分析所以，本书往后的内容均采用指数形式的傅里叶级数 【例5-2】 求图5.4所示三角波信号的傅里叶级数展开式图5.4 三角波信号 解：在一个周期内， 的表达式为(5-32),,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,所以(5-33)(5-34)故(5-35),,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,5.1.3 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,由前面的讨论可知，周期信号的傅里叶系数是该信号与正弦或余弦信号的积在一个周期内的积分。

如果周期信号 为实信号，且其波形具有某种对称性，则其傅里叶系数将具有一定的特性，即某些项会缺失，从而使傅里叶级数表达式变得比较简单周期信号的对称性主要有两种：一种是一个周期相对于纵坐标轴的对称关系，即奇函数或偶函数，这种对称性将导致其傅里叶级数中只有正弦项或余弦项；另一种是一个周期内前后半波的对称关系，即一个周期内前后半波是否重叠或镜像对称，这种对称性将导致其傅里叶级数中只有偶次谐波或奇次谐波第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,,1. 偶函数,如果周期信号 的波形关于纵轴对称，即 则是 偶函数此时有式中， 其傅里叶级数为,,,,,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,(5-37),(5-36),(5-38),所以，若实信号 为偶函数信号，其傅里叶级数展开式中不含正弦项，只含有直流项和余弦项例如，图5.4所示三角波信号为偶信号，其傅里叶级数展开式中只含有直流项和余弦项，如式(5-35)所示 2. 奇函数 如果周期信号 的波形关于纵轴反对称，或者说关于原点对称，即则 是奇函数。

此时有,,,,,第5章 连续时间信号与系统的频域分析,信号与系统,式中， 其傅里叶级数为(5-40) 所以，若实信号 为奇函数信号，其傅里叶级数展开式中不含直流项和余弦项，只含有正弦项例如，图5.2所示标准方波波信号为奇函数信号，其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，如式(5-12)所示 3. 偶谐函数 如果周期信号 的波形在时间轴上平移半个周期后所得波形与原波形完全重叠，即(5-41) 则称 为偶谐函数信号或半波重叠函数信号，其傅里叶级数展开式中只含有正弦波和余弦波的偶次谐波分量图5.5即为偶谐函数信号的一个实例。