考研高等数学重要知识点解析.pdf

2012 考研数学重要知识点解析之高等数学（六） 每年的考研试题中必有“应用题” ，用定积分计算几何量、物理量（数一、 数二要求）、经济量（数三要求）是应用题的一个重要方面 定积分的几何应用包括： 求平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧 长（数一、数二），旋转体的表面积（数一、数二） 、平行截面面积已知的立体体 积（数一、数二）等，求旋转体的体积考得更多一些微积分的几何应用与最值 问题相结合构成的应用题是常考题型，万学海文数学考研专家们提醒20XX 年的考生要引起重视 典 型 的 平 面 图 形 有 两 种 ： 一 种 是 由 曲 线( ),( )yf xyg x和 直 线 ,xa xb围成；如果ab，且当axb时，( )( )g xf x，则该平面图 形的面积公式是： ( )( ) b a Sf xg x dx 另一种是由曲线( ),( )xyxy和直线,yc yd围成；如果cd， 且当cyd时，( )( )yy，则该平面图形的面积公式是： ( )( ) d c Syy dy 在不同的题目中，尽管有千变万化，但求解过程总是两步：第一步，弄清欲 求面积的平面图形可归于哪种类型， 相应上下左右边界各是什么？解决了这些问 题就不难写出其面积公式， 这只是解决问题的基础， 要完全解决问题还必须选用 适当积分法和积分公式，正确求出积分的值。

旋转体的体积： (1) 平面图形由曲线xyy0 与直线ax，bx和x轴 围成， 绕x轴旋转一周的体积：dxxyV b a x 2 ； 绕 y 轴旋转一周的体积： b a y dxxxyV2； (2) 平面图形由曲线yxx0 与直线cy，dy和 y 轴围成， 绕 y 轴旋转一周的体积：dyyxV d c y 2 ； 绕x轴旋转一周的体积： d c x dyyyxV2 (3) 平面图形由曲线xyy0 与直线ax，bx和 y=d 围成，绕直线 y=d 旋转一周所得的旋转体体积： 微元法：取区间 a,b 上任一小区间 x,x+dx，这个窄曲边梯形绕y=d 旋转 而成的薄片的体积近似于以( )f xd为底半径、 dx 为高的扁圆柱体体积，即体 积元素 2 ( )dVf xddx，所求旋转体体积为 2 ( ) b a Vf xddx (4) 平面图形由曲线yxx0 与直线cy，dy和 x=h 围成，绕直线 x=h 旋转一周所得的旋转体体积： 2 ( ) d c Vx yhdy 应该指出的是， 在解决定积分的几何意义应用问题时，首先作出有关的图形 对于确定平面图形的边界， 确定积分上下限，确定体积微元等常常有很大的帮助， 因此，养成作草图帮助分析问题的习惯是必要的。

定积分的物理应用包括：功、引力、压力、质心、形心等，比起几何应用来 考得要少一些基本方法有：代公式法和微元法 已知边际成本求总成本、 已知边际收益求总收益等问题是定积分用于经济方 面最常见的典型问题 最后需要强调的是综合性试题，例如积分与微分的综合题； 积分与微分方程 的综合题；积分与级数的综合题等都是近几年考试的重点，要引起20XX年考生 的高度重视。