高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.1数系的扩充与复数的引入复数的萌芽形成与发展素材北师大版选修1_2.doc

复数的萌芽、形成与发展我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决．对于复数（都是实数）来说，当时，就是实数；当时叫虚数；当时，叫做纯虚数．可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？16世纪意大利米兰学者卡当（1501－1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成，尽管他认为和这两个式子是没有意义的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40．给出“虚数”这一名称是法国数学家笛卡尔（1596－1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数．德国数学家莱不尼茨（1664-1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”．瑞士数学大师欧拉（1707-1783）说：“一切形如的数学式子都是不可能有的，因为它们所表示的是负数的平方根．对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地．法国数学家达朗贝尔（1717-1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（都是实数）．法国数学家棣莫佛（1667－1754）在1730年发现公式，这就是著名的棣莫佛定理．欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位．“虚数”实际上不是想象出来的，它是确实存在的．挪威的测量学家成塞尔（1745-1818）在1779年试图给出虚数以直观的几何解释，并首先发表了其作法，然而没有得到学术界的重视．德国数学家高斯（1777-1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数．像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”．高斯在1831年，用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”．他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合．统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应．高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法．至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了．经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵．虚数成了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集．随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．。