函数的奇偶性及周期性精讲.doc

函数的奇偶性与周期性【2021年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考察函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．　　根底梳理1．奇、偶函数的概念(1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么这个函数叫做奇函数．(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么这个函数叫做偶函数．(3)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进展，一般步骤是：(1)考察定义域是否关于原点对称．(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)；假设f(－x)＝－f(x)，那么f(x)为奇函数；假设f(－x)＝f(x)，那么f(x)为偶函数；假设f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，那么f(x)既是奇函数又是偶函数；假设f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，那么f(x)既不是奇函数又不是偶函数．即非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)假设奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下函数中，其中是偶函数的是(　　)． A．f(x)＝x＋B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝D．f(x)＝x4＋x3解析　由奇、偶函数的定义知，A，B为奇函数，C为偶函数，D为非奇非偶函数．答案　C2．(2021·)以下函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(　　)．A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x解析　函数为偶函数，那么f(－x)＝f(x)，故排除掉B，D.C选项中y＝x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．应选A.答案　A3．“函数f(x)为奇函数〞是“f(0)＝0〞的(　　)．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案　D4．(2021·XX调研)假设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)．A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数解析　由，得b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x)．∴g(x)为奇函数．答案　A5．f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析　依题意，得∴a＝，b＝0，∴a＋b＝.答案　考向一　函数奇偶性的判断【例1】►判断以下函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x－1) ；(3)f(x)＝.[审题视点] 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断．解　(1)由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由得－1≤x＜1.∵f(x)的定义域[－1,1)不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (1)首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(－x)＝±f(x)判断，有时需要先将函数进展化简．(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 判断以下函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝log2(x＋)．解　(1)∵f(x)的定义域[－1,4]不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋)＝log2＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．考向二　函数的奇偶性与单调性【例2】►(2021·XX模拟)(1)f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；(2)设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数，XX数a的值；(3)奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值X围．[审题视点] (1)f(x)是一个分段函数，当x＜0时，转化为f(x)＝－f(－x)．(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f(1)＝f(－1)，再验证．(3)可考虑f(x)在[－2,2]上的单调性．解　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，当x＜0时，－x＞0，由f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．∴f(x)＝－x2－x＋1.∴f(x)＝(2)法一　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．即＋＝＋，(a2－1)(e2x－1)＝0，对任意的x恒成立，∴解得a＝1.法二　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴·＋ae＝＋，∴e＋(－a)＝0，∴(e2－1)＝0，∴a－＝0.又a＞0，∴a＝1.经历证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．∴a＝1.(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有解得－1≤m≤.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②，可知－1≤m＜1. (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一样，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【训练2】 偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，那么满足f(2x－1)＜f的x的取值X围是(　　)．A.B.C.D.解析　f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)＜f⇔|2x－1|＜⇔＜x＜.应选A.答案　A考向三　函数的奇偶性与周期性【例3】►设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．[审题视点] ①根据周期函数的定义证明；②由函数的周期性与奇偶性综合解题；③函数周期性的应用．(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解　∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0. 判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是近年高考考察的重点问题．【训练3】 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，那么(　　)．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析　由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数，可以推知f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案　D　　规X解答2——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考察学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要表达为f(－x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要表达为f(x＋T)与f(x)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性表达的是一种对称关系，而函数的单调性表达的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【例如】►(此题总分值12分)(2021·XX模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．第(1)问，先求函数f(x)的周期，再求f(π)；第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出．[解答示X] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(6分)又0≤x≤1时。