热学：2.3 麦克斯韦速度分布.ppt

2.3麦克斯韦速度分布 麦克斯韦是先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的 为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念 2.3.1速度空间 一、速度矢量、速度空间中的代表点 （1 ) 速度矢量 要描述气体分子的速度大小和方向，需引入速度矢量这一概念， 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的大小、方向一致 一个分子仅有一个速度矢量 （1) 速度空间中的代表点 把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐标图， 把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点O上以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去这样的点称为代表点以直角坐标表示的速度空间 以速度分量vx、vy、vz为坐标轴， 以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐标称为速度空间 速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向 二、速度空间中代表点的分布 若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，如图所示（1）速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率 在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz区间内体积为dvxdvydvz的微分元中的代表点的数目dN（vx、vy、vz），称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度它表示在dvxdvydvz小体积元中代表点的相对密集程度。

2）速度空间中厚为dvx 无限大平板中的概率 若设此平板中代表点数为dN（vx） dN（vx）/N = f(vx)dvx 称分子x方向速度分量概率分布函数 同样可求出dN（vy）及dN（vZ）dN（vy）/N = f(vy)dvydN（vz）/N = f(vz)dvz 因为vx ，vy，vz相互独立，故 dN（vx、vy、vz）/N =f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz 分子处于速度空间任一微小范围dvxdvydvz内的概率是f（vx ，vy，vz）与dvxdvydvz的乘积3）分子速度分量处于vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz范围内的概率与速度分量分布函数的关系？f（vx ，vy，vz）=f (vx) f (vy) f (vz)2.3.2麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution） 麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分布，这一分布可表示为 f（vx ，vy，vz）dvxdvydvz= f（vx ，vy，vz)dvxdvydvz= f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz其中i 可分别代表x、y、z。

欲求分子速度的x分量在vx 到vx+dvx内而vy、vz任意的分子数dN(vx), 这就是速度空间中垂直于x 轴的无穷大薄平板中的代表点数，显然可对vy、vz积分后求出： 速度分量概率分布曲线如图所示：它对称于纵轴，图中打上斜线的狭条的面积即这一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体*相对于 vp的速度分量（麦克斯韦）分布 最概然速率vp2= 2kT/m ,令上式中vx/vp= ux ，上式可以变换为 若要求出分子速度x方向分量小于某一数值的分子数所占的比率，则可对上式积分误差函数误差函数erf(x)有表可查解 首先求出273 K时氮气分子（摩尔质量Mm=0.028 kg）的最概然速率 . 由表2.1查得erf（2）=0.995，故这种分子所占百分比为=49.8% 例2.2试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于800ms-1的分子数占全部分子数的百分比.*相对于vP 的麦克斯韦速率分布 若令 可将麦克斯韦速率分布表示为利用误差函数可求得在0 到 v 范围内的分子数 气体分子速度在各个方向上应该是等概率的，代表点的数密度D 是球对称的，D 仅是离开原点的距离v的函数设代表点的数密度为D（v） 在球壳内的代表点数dNv应是D（v）与球壳体积的乘积麦克斯韦速率分布:所有分子速率介于v到v+dv范围内的分子的代表点都落在以原点为球心，v半径，厚度为dv的一薄层球壳中2.3.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布 在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近dvxdvydvz的代表点数密度是dNV /dvxdvydvz=Nf（vx、vy、vz），代表点数密度就是这里的D（v），故.将上式代入 这就是麦克斯韦速率分布*2.3.5绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布费米球 金属自由电子模型指出， 金属中的价电子是无相互作用的自由电子。

在T = 0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球 其球心位于速度空间的原点，球的半径为vF（称为费米速率，是一个与金属种类有关的常数） 电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零，位于球内的概率密度为常数，设为De De可如下求出：(4/3)vF3De=1由归一化条件知De=3/4vF3 其速率分布可表示为 通常以 来表示费米球面的能量（其中me为电子质量），称为费米能不同金属，EF值不同，一般它取eV的量级 例如铜的EF=1.110-18J，而me=9.110-31kg由此知T=0K时铜中自由电子平均速率说明即使在T =0K时，金属中自由电子还在以106ms-1的数量级的平均速率在运动着这是经典理论无法解释的（按照麦克斯韦分布，T =0K时的自由电子平均速率为零）这种运动称为零点运动。