2024年新高考艺体生冲刺复习考点20 二项式定理（解析版）.docx

考点20 二项式定理一．二项式定理（1）二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)（2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C（4）项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n三． 指定项的系数或二项式系数1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项三．二项式系数的性质四．系数和---赋值法1．赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．五．常见解题思路1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式，常把字母和系数分离(注意符号不要出错)；②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 3.求三项展开式特定项的方法①通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．②将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．4.二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．5.整除问题：用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．6.近似运算：利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式指定项的系数【例1-1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（    ）A． B．60 C．210 D．【答案】B【解析】展开式的通项为，所以，常数项为，故选：B.【例1-2】（2024·贵州·校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（    ）A．8 B．28 C．56 D．70【答案】B【解析】展开式的通项公式，当时，即时，有，所以含的项的系数为，故选：B.【例1-3】（2023·山东青岛）若的展开式中共有个有理项，则的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】的展开式通项为，，当时，为有理项，故.故选：C.【变式】1．（2024·四川绵阳·统考二模）的展开式中，x的系数为（    ）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】的展开式的通项为．令，得．的系数为．故选：A．2．（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（    ）A． B． C．240 D．【答案】B【解析】展开式的通项公式为，所以,故选：B3．（2024上·全国·高三专题练习）展开式中含项的系数为，则实数a的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得．∴，依题意，∴．故选：A.4．（2024·全国·高三专题练习）写出展开式中的一个有理项为 .【答案】（答案不唯一）【解析】展开式的通项公式为（），所以展开式中的有理项分别为：时，；时，；时，；时，.故答案为：（四个有理项任写其一均可）.考点二 二项式系数与系数的性质【例2-1】（2023辽宁省大连市）的展开式中，二项式系数最大的是（    ）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【解析】由二项式，可得其展开式共有9项，根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.故选：C.【例2-2】（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（    ）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【答案】C【解析】依题意，的展开通项公式为，其系数为，当为奇数时，才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是的最大项，所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C．【例2-3】2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为 【答案】【解析】第四项和第八项的二项式系数相等,则，故展开式中x的系数为，故答案为：【变式】1．（2023·甘肃）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则∴展开式的通项为则该展开式中各项系数若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得∴系数的最小值为故选：C.2．（2023·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．【答案】【解析】设系数最大的项为，则，解得，因为且为整数，所以，此时最大的项为.故答案为：3．（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式的展开式中，系数最大的项为 ．【答案】【解析】展开式通项公式为，且为整数.要想系数最大，则为偶数，其中，，，，显然系数最大项为.故答案为：考法三 （二项式）系数和【例3-1】（2024·重庆·校联考一模）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】已知，令，有，A选项错误；令，有，令，有，，B选项正确；展开式的通项为，，，C选项正确，D选项正确.故选：BCD【例3-2】．（2024·黑龙江）（多选）若，其中为实数，则（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，则原式转化为，对A，令，得，故A正确；对B，由二项式定理得，故B错误；对CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正确，D错误.故选：AC【变式】1．（2024·河南）（多选）已知，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】选项A：取，则，则错误；选项B：取，则，则，故B正确；选项C：的展开式通项为，所以，C正确；选项D：取，则，将其与作差，得，所以，故D正确.故选：BCD.2（2023·辽宁）（多选）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由题意，当，，当时，，A正确；当时，，所以，，B，C错误；，当时，，所以，D正确.故选：AD．3．（2023·浙江绍兴）（多选）设，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题设，二项式展开式通项为，所以，时，时，故，A对；又，即，令，即，则①，B错；令，即，则②，由①②得：，则，C对；由知：展开式奇数项系数为负，偶数项系数为正，所以，而，故，即，D对.故选：ACD4．（2023·山西朔州）（多选）若，，则下列结论中正确的有（    ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对于,令则故正确；对于,，故错误；对于,令则则故错误；对于,令得又故正确.故选：考法四 两个二项式乘积的系数【例4-1】（2024·全国·模拟预测）展开式中，含项的系数为 ．【答案】【解析】∵展开式的通项为，∴展开式中，含项为，则含项的系数为.故答案为：.【例4-2】（2024上·全国·高三专题练习）展开式中的常数项是120，则实数 ．【答案】2【解析】∵展开式的通项公式为，令得，即．令得，即，∴展开式中的常数项为，故，解得．故答案为：2【变式】1．（2024·全国·模拟预测）展开式中，含的项的系数为 ．【答案】【解析】由二项式展开式的通项，则在展开式中，含项的系数为．故答案为：.2．（2024·海南海口·统考模拟预测）在的展开式中的系数为 .【答案】【解析】结合题意可得：所以的系数为.故答案为:.3．（2024上·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）的展开式中的常数项为 .【答案】10【解析】展开式的通项公式为，令，得；令，得，所以的展开式中的常数项为.故答案为：10考法五 三项式系数【例5-1】（2023·江西南昌）在的展开式中，项的系数为（    ）A．299 B．300C． D．【答案】C【解析】的展开式中，项是从5个多项式中任取1个用，再余下4个多项式中任取1个用，最后3个多项式都用1相乘的积，即，所以项的系数为.故选：C【例5-2】（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．【答案】【解析】在的展开式中，要得到，则需要在6个式子中抽取2个，得到2个，有种方法；要得到，则需要在6个式子中抽取2个2个，得到2个，有种方法；故的系数为.故答案为：.【变式】1．（2023上·云南曲靖·高三校考阶段练习）的展开式中的常数项为（    ）A．588 B．589 C．798 D．799【答案】B【解析】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式中各取一个相乘而得，若得到常数项，则有：①8个1；②2个，1个，5个1；③4个，2个，2个1；所以展开式中的常数项为.故选：B.2．（2023·四川达州）的展开式中，的系数为（    ）A．20 B． C． D．15【答案】B【解析】，其展开式的通项为：，取得到的系数为．故选：B．3．（2023·黑龙江大兴安岭地）展开式中含项的系数为 .【答案】30【解析】由于，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为30.故答案为：30.4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）的展开式中的系数为 .【答案】【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有1个因式选，其余4个因式选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，1个因式选，1个因式选1，。