北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 §6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 问题引航引航1.1.指数函数、指数函数、幂函数、函数、对数函数增数函数增长有什么差异有什么差异? ?2.2.指数函数、指数函数、幂函数、函数、对数函数增数函数增长各有什么特征各有什么特征? ? 三种函数各自的增三种函数各自的增长特点特点(1)(1)当当a>1a>1时, ,指数函数指数函数y=ay=ax x是是_______,_______,并且当并且当a a越大越大时, ,其函数其函数值增增长_____._____.(2)(2)当当a>1a>1时, ,对数函数数函数y=logy=loga ax(x>0)x(x>0)是是_______,_______,并且当并且当a a越小越小时, ,其函数其函数值增增长_____._____.(3)(3)当当x>0,n>1x>0,n>1时, ,幂函数函数y=xy=xn n是是_______,_______,并且当并且当x>1x>1时,n,n越大越大, ,其函数其函数值增增长_____._____.增函数增函数越快越快增函数增函数越快越快增函数增函数越快越快 1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打““√√””, ,错误的打的打““××””) )(1)(1)任何任何时候候, ,函数函数y=2y=2x x都比都比y=logy=log2 2x x增增长得快得快.(.( ) )(2)(2)三三类增增长型的函数模型在型的函数模型在(0,+∞)(0,+∞)上均上均为增函数增函数.(.( ) )(3)(3)函数函数y=2y=2x x与与y=xy=x2 2图像交点的个数是像交点的个数是2.(2.( ) ) 2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)0.3(1)0.32 2,log,log2 20.3,20.3,20.30.3这三个数之三个数之间的大小关系是的大小关系是 . .(2)(2)三个三个变量量y y1 1,y,y2 2,y,y3 3随随变量量x x变化的数据如下表化的数据如下表其中其中,x,x呈呈对数型函数数型函数变化的化的变量是量是 ; ;呈指数型函数呈指数型函数变化的化的变量是量是 ; ;呈呈幂函数型函数型变化的化的变量是量是 . .x x1 13 35 57 79 91111y y1 15 51351356256251 7151 7153 6453 6456 6556 655y y2 25 529292452452 1892 18919 68519 685177 149177 149y y3 35 56.16.16.616.616.956.957.27.27.47.4 (3)(3)下列下列说法中法中, ,正确的有正确的有 . .①①幂函数增函数增长比直比直线型函数增型函数增长得快得快; ;②②对任意任意x>0,xx>0,xn n>log>loga ax;x;③③对任意任意x>0,ax>0,ax x>log>loga ax;x;④④不一定存在不一定存在x x0 0, ,使使x>xx>x0 0时, ,总有有a ax x>x>xn n>log>loga ax.x. 【【解析解析】】1.(1)1.(1)错误错误. .结合指数函数与对数函数的图像结合指数函数与对数函数的图像, ,知函数知函数y=2y=2x x在在x∈(0,1)x∈(0,1)的范围内比的范围内比y=logy=log2 2x x图像增长得慢图像增长得慢, ,故此说法不故此说法不正确正确. .(2)(2)正确正确. .根据三类函数的性质知根据三类函数的性质知, ,在在(0,+∞)(0,+∞)上均为增函数上均为增函数. .(3)(3)错误错误. .作出两个函数的图像作出两个函数的图像, ,在第一象限有在第一象限有2 2个交点个交点, ,在第二在第二象限有象限有1 1个交点个交点, ,共有共有3 3个交点个交点, ,故错误故错误. .答案：答案：(1)(1)×× (2)√(2)√ (3)(3)×× 2.(1)2.(1)令函数令函数y y1 1=x=x2 2,y,y2 2=log=log2 2x,yx,y3 3=2=2x x. .在同一坐标系内作出上述三在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图个函数的图像如图, ,然后作然后作x=0.3,x=0.3,此直线必与上述三个函数图此直线必与上述三个函数图像相交像相交. .由图像知由图像知loglog2 20.3<0.30.3<0.32 2<2<20.30.3. .答案：答案：loglog2 20.3<0.30.3<0.32 2<2<20.30.3 (2)(2)由表中的数据可知：由表中的数据可知：y y3 3变化较慢变化较慢, ,故故x x是呈对数型函数变化的是呈对数型函数变化的变量变量;y;y1 1变化稍快变化稍快, ,故故x x是呈幂函数型变化的变量是呈幂函数型变化的变量;y;y2 2变化最快变化最快, ,故故x x是呈指数型函数变化的变量是呈指数型函数变化的变量. .答案：答案：y y3 3 y y2 2 y y1 1(3)①(3)①中中, ,若若n= ,n= ,当当0x,, >x,但当但当x x足够大时足够大时, ,不成立不成立; ;对对于于②③②③, ,忽视了不等式成立的条件忽视了不等式成立的条件a>1,n>0;a>1,n>0;另外另外, ,不是对任意不是对任意x>0x>0总成立总成立. .答案：答案：④④ 【【要点探究要点探究】】知知识点点 常常见的三种函数的增的三种函数的增长对函数函数y=ay=ax x,y=x,y=xn n及及y=logy=loga ax x增增长快慢的三点快慢的三点说明明(1)(1)对于于幂函数函数y=xy=xn n, ,当当x>0,n>0x>0,n>0时,y=x,y=xn n才是增函数才是增函数, ,当当n n越大越大时, ,增增长速度越快速度越快. . (2)(2)指数函数与指数函数与对数函数的数函数的递增前提是增前提是a>1,a>1,又因又因为它它们的的图像像关于关于y=xy=x对称称, ,从而可知从而可知, ,当当a a越大越大,y=a,y=ax x增增长越快越快, ,当当a a越小越小, , y=logy=loga ax x增增长越快越快, ,一般来一般来说a ax x>log>loga ax(x>0,a>1).x(x>0,a>1).(3)(3)指数函数与指数函数与幂函数：当函数：当x>0,n>0,a>1x>0,n>0,a>1时, ,可能开始有一段可能开始有一段, , x xn n>a>ax x. .但指数函数是爆炸型函数但指数函数是爆炸型函数, ,当当x x大于某一个确定大于某一个确定值x x0 0后后, ,就就一定有一定有a ax x>x>xn n. . 【【知知识拓展拓展】】常常见的三种函数模型的三种函数模型(1)(1)指数型函数模型：指数型函数模型：f(x)=abf(x)=abx x+c(a,b,c+c(a,b,c为常数常数,a>0,b>0, ,a>0,b>0, b≠1).b≠1).(2)(2)对数型函数模型：数型函数模型：f(x)=mlogf(x)=mloga ax+n(m,n,ax+n(m,n,a为常数常数,m>0,a>0,m>0,a>0且且a≠1).a≠1).(3)(3)幂函数型模型：函数型模型：f(x)=axf(x)=axαα+b(a,b,α+b(a,b,α为常数常数,a>0,α≠1).,a>0,α≠1). 【【微思考微思考】】(1)(1)在指数函数、在指数函数、对数函数、数函数、幂函数三函数三类函数模型中函数模型中, ,一般来一般来说, ,增增长越来越快的、相越来越快的、相对平平缓的、越来越慢的函数模型分的、越来越慢的函数模型分别是什是什么么? ?提示：提示：一般来说一般来说, ,指数函数增长越来越快指数函数增长越来越快, ,幂函数增长相对平缓幂函数增长相对平缓, ,对数函数增长越来越慢对数函数增长越来越慢. .(2)(2)在区在区间(0,+∞)(0,+∞)上上, ,当当a>1,n>0a>1,n>0时, ,是否是否总有有logloga ax1,n>0,x>xa>1,n>0,x>x0 0时时,log,loga axg(1),f(2)g(10).f(1)>g(1),f(2)g(10). 因此因此1xx>x2 2时时,f(x)>g(x),,f(x)>g(x),且且g(x)g(x)在在(0,+∞)(0,+∞)上是增函数上是增函数, ,故故f(2013)>g(2013)>g(8)>f(8).f(2013)>g(2013)>g(8)>f(8). 【【延伸探究延伸探究】】在本例在本例(1)(1)条件不条件不变的情况下的情况下, ,哪个函数的增哪个函数的增长速速度最慢度最慢? ?【【解析解析】】当当x x越来越大时越来越大时, ,函数函数y=logy=log100100x x增长速度最慢增长速度最慢. . 【【方法技巧方法技巧】】四种常见函数的增长特征四种常见函数的增长特征随着随着x x的增大的增大, ,一次函数一次函数y=kx+b(k>0)y=kx+b(k>0)、指数函数、指数函数y=ay=ax x(a>1)(a>1)、对、对数函数数函数y=logy=loga ax(a>1)x(a>1)、幂函数、幂函数y=xy=xn n(n>0)(n>0)的变化及相应增量规律：的变化及相应增量规律：①①直线型均匀上升直线型均匀上升, ,增量恒定增量恒定; ;②②指数型急剧上升指数型急剧上升, ,增量快速增大增量快速增大; ; ③③对数型缓慢上升对数型缓慢上升, ,增量逐渐减少增量逐渐减少; ;④④幂函数型虽上升较快幂函数型虽上升较快, ,但随着但随着x x的不断增大的不断增大, ,上升趋势远不如上升趋势远不如指数型指数型, ,几乎有些微不足道几乎有些微不足道, ,其增量缓慢递增其增量缓慢递增. .一般简述为：直线上升、指数爆炸、幂函数逐渐增长、对数函一般简述为：直线上升、指数爆炸、幂函数逐渐增长、对数函数缓慢增长数缓慢增长. . 【【变式式训练】】函数函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的的图像如像如图. .(1)(1)指出曲指出曲线C C1 1,C,C2 2分分别对应哪一个函数哪一个函数. .(2)(2)比比较两函数的增两函数的增长差异差异( (以两以两图像交点像交点为分界点分界点, ,对f(x), f(x), g(x)g(x)的大小的大小进行比行比较).). 【【解题指南解题指南】】借助函数图像的特征求解借助函数图像的特征求解(1);(1);以以x x1 1,x,x2 2为界点借助为界点借助图像的特征比较图像的特征比较f(x),g(x)f(x),g(x)的大小的大小. .【【解析解析】】(1)(1)由函数图像特征及变化趋势由函数图像特征及变化趋势, ,知曲线知曲线C C1 1对应的函数对应的函数为为g(x)=0.3x-1,g(x)=0.3x-1,曲线曲线C C2 2对应的函数为对应的函数为f(x)=lgx.f(x)=lgx.(2)(2)当当x∈(0,xx∈(0,x1 1) )时时,g(x)>f(x);,g(x)>f(x);当当x∈(xx∈(x1 1,x,x2 2) )时时,g(x)f(x).,g(x)>f(x).函数函数g(x)=0.3x-1g(x)=0.3x-1呈直线增长呈直线增长, ,函数函数f(x)f(x)随着随着x x的逐渐增大的逐渐增大, ,其函其函数值变化得越来越慢数值变化得越来越慢, ,为为““蜗牛式蜗牛式””增长增长. . 【【补偿训练】】分析指数函数分析指数函数y=2y=2x x与与对数函数数函数y=logy=log2 2x x在区在区间[1,+∞)[1,+∞)上函数的增上函数的增长情况情况. .【【解析解析】】在同一坐标系内作出在同一坐标系内作出y=2y=2x x和和y=logy=log2 2x x的图像的图像, ,从图像上从图像上可观察出函数的增减变化情况可观察出函数的增减变化情况. .如图所示：如图所示： 指数函数指数函数y=2y=2x x, ,当当x x由由x x1 1=1=1增加到增加到x x2 2=3=3时时,Δx=2,Δy=2,Δx=2,Δy=23 3-2-21 1=6;=6;对数函数对数函数y=logy=log2 2x,x,当当x x由由x x1 1=1=1增加到增加到x x2 2=3=3时时,Δx=2,,Δx=2,而而Δy=logΔy=log2 23-3-loglog2 21≈1.5850.1≈1.5850.由此可知由此可知, ,在区间在区间[1,+∞)[1,+∞)内内, ,指数函数指数函数y=2y=2x x随着随着x x的增长函数值的增长函数值的增长速度快的增长速度快, ,而对数函数而对数函数y=logy=log2 2x x的增长速度缓慢的增长速度缓慢. . 类型二型二 函数的增函数的增长差异在差异在实际生活中的生活中的应用用【【典例典例2 2】】(1)(2014(1)(2014··重重庆高一高一检测) )某公司某公司为了适了适应市市场需求需求对产品品结构做了重大构做了重大调整整, ,调整后初期利整后初期利润增增长迅速迅速, ,后来增后来增长越来越慢越来越慢, ,若要建立恰当的函数模型来反映若要建立恰当的函数模型来反映该公司公司调整后利整后利润y y与与时间x x的的关系关系, ,可可选用用( ( ) )A.A.一次函数一次函数 B.B.二次函数二次函数C.C.指数型函数指数型函数 D.D.对数型函数数型函数 (2)(2)一笔投一笔投资基金有基金有A,B,CA,B,C三种方案：三种方案：方案方案A A：每天回：每天回报4040元元; ;方案方案B B：第一天回：第一天回报1010元元, ,以后每天比前一天多回以后每天比前一天多回报1010元元; ;方案方案C C：第一天回：第一天回报0.40.4元元, ,以后每天的回以后每天的回报比前一天翻一番比前一天翻一番. .①①如果投如果投资一周一周, ,你会你会选择方案方案 ; ;②②如果投如果投资一个月一个月, ,你会你会选择方案方案 . . 【【解题探究解题探究】】1.1.探求解决题探求解决题(1)(1)可联想哪些函数的变化率可联想哪些函数的变化率? ?2.2.题题(2)(2)中的方案中的方案A,B,CA,B,C分别对应什么函数模型分别对应什么函数模型? ?【【探究提示探究提示】】1.1.可联想到幂函数、对数函数和指数函数的变化可联想到幂函数、对数函数和指数函数的变化率率. .2.2.题题(2)(2)中的方案中的方案A,B,CA,B,C分别对应常数函数、正比例函数及指数分别对应常数函数、正比例函数及指数函数函数. . 【【自主解答自主解答】】(1)(1)选选D.D.一次函数匀速增长一次函数匀速增长, ,二次函数及指数型函二次函数及指数型函数均为开始增长缓慢数均为开始增长缓慢, ,后来增长越来越快后来增长越来越快, ,对数型函数开始增长对数型函数开始增长迅速后来增长越来越慢迅速后来增长越来越慢. .(2)(2)设第设第x x天所得回报是天所得回报是y y元元, ,则各方案的函数模型为：则各方案的函数模型为：方案方案A A：：y=40(x∈Ny=40(x∈N* *););方案方案B B：：y=10x(x∈Ny=10x(x∈N* *););方案方案C C：：y=0.4y=0.4××2 2x-1x-1(x∈N(x∈N* *).). 三种投资方案每天所获的利润三种投资方案每天所获的利润, ,如图所示：如图所示： 三种投资方案所获总利润同天数间的关系：三种投资方案所获总利润同天数间的关系：投资投资1 1～～6 6天天, ,应选择应选择A A投资方案投资方案; ;投资投资7 7天天, ,应选择应选择A A或或B B投资方案投资方案; ;投资投资8 8～～1010天天, ,应选择应选择B B投资方案投资方案; ;投资投资1111天天( (含含1111天天) )以上以上, ,应选应选择择C C投资方案投资方案. .答案：答案：①①A A或或B B ②②C C天数天数方案方案1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111A A40408080120120160160200200240240280280320320360360400400440440B B101030306060100100150150210210280280360360450450550550660660C C0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225.250.850.8102102204.4204.4409.2409.2818.8818.8 【【方法技巧方法技巧】】实际问题中对几种增长模型的选择技巧实际问题中对几种增长模型的选择技巧(1)(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律. .(2)(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律律. .(3)(3)幂函数增长模型介于上述两者之间幂函数增长模型介于上述两者之间, ,适合一般增长的变化规适合一般增长的变化规律律. . 【【变式式训练】】为了了发展展电信事信事业, ,方便用方便用户, ,电信公司信公司对移移动采用不同的收采用不同的收费方式方式, ,其中所使用的其中所使用的““便民卡便民卡””和和““如意卡如意卡””在在某市范某市范围内每月内每月(30(30天天) )的通的通话时间x(x(分分) )与通与通话费y(y(元元) )的关系的关系如如图所示所示. .(1)(1)分分别求出通求出通话费y y1 1,y,y2 2与通与通话时间x x之之间的函数关系式的函数关系式. .(2)(2)请帮助用帮助用户计算算, ,在一个月内使用哪种卡比在一个月内使用哪种卡比较便宜便宜. . 【【解析解析】】(1)(1)由图像可设由图像可设y y1 1=k=k1 1x+29,yx+29,y2 2=k=k2 2x,x,把点把点B(30,35),B(30,35),C(30,15)C(30,15)分别代入所设两个函数关系式中得分别代入所设两个函数关系式中得k k1 1= ,k= ,k2 2= .= .所以所以y y1 1= x+29(x≥0),y= x+29(x≥0),y2 2= x(x≥0).= x(x≥0).(2)(2)令令y y1 1=y=y2 2, ,即即 x+29= x,x+29= x,则则x=96 .x=96 .当当x=96 x=96 时时,y,y1 1=y=y2 2, ,两种卡收费一样两种卡收费一样; ;当当0≤x<96 0≤x<96 时时,y,y1 1>y>y2 2, ,即即““如意卡如意卡””便宜便宜; ;当当x>96 x>96 时时,y,y1 1
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