尼科尔森《微观经济理论基本原理与扩展》课后习题详解.docx

尼科尔森《微观经济理论基本原理与扩展》课后习题详解Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》 第2章 最优化的数学表达 课后习题详解 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一咨询进行咨询 1．已知U(x,y)=4x2+3y2 计算偏导数¶U¶x，¶U¶y 求出上述偏导数在x=1，y=2处的值 写出U的全微分 计算dU=0时dy/dx的值——这意味着当U保持不变时，x与y的替代关系是什么？ 验证：当x=1，y=2时，U=16 当保持U=16时，且偏离x=1，y=2时，x和y的变化率是多少？ 更一般的，当U=16时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？ 解：对于函数U(x,y)=4x2+3y2，其关于x和y的偏导数分别为： ¶U¶U=6y =8x，¶y¶x当x=1，y=2时，中的偏微分值分别为： ¶U¶x=8， x=1¶U¶y= 12 y=2U的全微分为： dU=¶U¶Udx + dy= 8xdx+ 6ydy ¶x¶ydy-8x-4x。

==dx6y3y当dU=0时，由可知：8xdx + 6ydy = 0，从而可以解得：将x=1，y=2代入U的表达式，可得：U=4´1+3´4=16 由可得，在x=1，y=2处，当保持U=16不变，即dU=0时，有： dy-4´1 = = - 2/3 dx3´2当U=16时，该函数变为：4x2+3y2=16，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆由可知，该等高线在处的斜率为：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 dy4x = - dx3yBorn to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 2．假定公司的总收益取决于产量，即总收益函数为：R=70q-q2； 总成本也取决于产量：C=q2+30q+100 为了使利润最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？ 验证：在中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的 此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释 解：公司的利润函数为： p=R-C=-2q2+40q-100 利润最大化的一阶条件为： dp = -4q + 40=0 dq从而可以解得利润最大化的产量为： q* = 10； 相应的最大化的利润为：p*= -2´102 + 40´10 - 100 = 100。

d2p*在q= 10处，利润最大化的二阶条件为：2 = -4<0，因而满足利润最大化的二dq阶条件 在q*= 10处，边际收益为：MR =边际成本为：MC = dR= 70 - 2q*=50； dqdC = 2q*+30=50； dq因而有MR=MC=50，即“边际收益等于边际成本”准则满足 3．假设f(x,y)=xy如果x与y的和是1，求此约束下f的最大值利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题 解：代入消元法 由x+y=1可得：y=1-x，将其代入f可得： f=xy=x-x2 从而有：df = 1 - 2x = 0，可以解得：x =0.5从而y=1-x = 0.5，f =0.25 dx拉格朗日乘数法 f的最大值问题为： maxxys.t. x+y=1构造拉格朗日函数为： L=xy+l(1-x-y) 一阶条件为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶L = y - l = 0¶x¶L = x -l = 0 ¶y¶L =1- x -y =0¶l从而可以解得：x=y=0.5，因而有：f=xy=0.25。

4．对偶函数为： minx+ys..txy=0.25利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题 解：设最小化问题的拉格朗日函数为： L=x+y+l(0.25-xy) 一阶条件为： ¶L=1-ly=0¶x¶L =1-lx=0¶y¶L=0.25-xy=0¶l从而有：x=y，xy=x2=0.25，从而可以解得：x=y=0.5 5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间的函数： f(t)=-0.5gt2+40t 其中，g是由重力所决定的常数 小球处于最高处的时间t如何取决于参数g？ 利用你在问中的答案来描述：随着参数g的变化，小球的最大高度如何变化 利用包络定理直接给出问中的答案 在地球上，g=32，但是这个值在某些地区会有差异如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？ 解：对高度函数f(t)=-0.5gt2+40t关于时间求导数可得： df = -gt + 40 = 0 dt从而可以解得使高度最大的时间为：t*=g成反比例关系 40，从而可知小球处于最高处的时间t与参数g985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 将t*=Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 40代入高度函数中可得： gæ40ö40800f(t*)=-0.5gç÷+40´= gggèø2从而有：df(t*)dg=-800<0，即：随着g的增大，最大高度将变小。

g22¶f1 = - (t*)取决于g，因为t*取决于g ¶g22由包络定理可知：2æ40ö¶f-800因而有： = -0.5(t*)=-0.5ç÷=2<0 ¶ggègø当g=32时，最大高度为：f=800/32=25； 当g=32.1时，最大高度为：f¢=800/32.1=24.92； 因而两地最大高度的差异为：Df=f¢-f=24.92-25=-0.08 6．制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为x英尺、长为3x英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为t英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘 图2-1 油轮模型的制作 验证：该托盘可装油的体积为： V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3 t应该如何选择，才能使给定x下的V最大？ 是否存在一个x使得所装油的体积最大？ 假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮该约束条件可以用方程3x2-4t2=1000000来表示如何将该受约束的最大化问题的解与和问中的解进行比较？ 解：如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为t的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为，宽为，高为t，因而其体积为： V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3 由体积函数为V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3，体积最大化的一阶条件为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶V=3x2-16xt+12t2=0 ¶t16x±256x2-144x216x±10.6x从而可以解得：t=，即：t1=0.225x，t2=1.11x。

=2424¶2V¶2V二阶条件为：2=-16x+24t，只有当t=0.225x时，才有2=-16x+24t<0 ¶t¶t即只有当t=0.225x才能使给定x下的V最大 当t=0.225x时，V»0.67x3-0.04x3+0.05x3»0.68x3因而当x增大时，V随之增大，没有极限因此，不存在一个x使得所装油的体积最大 受约束的最优化问题为： maxV=3tx2-8t+4t3s..t3x2-8t2=1000000设拉格朗日函数为： L=3tx2-8t2x+4t3+l(1000000-3x2+4t2) 一阶条件为： ¶L=3x2-16tx+12t2+8lt=0¶t¶L =6tx-8t2-6lx=0¶x¶L=1000000-3x2+4t2=0¶l从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的t*、x*显然，该受约束的最大化问题的解将有别于和中求解出来的解 7．考虑如下受约束的最优化问题： maxy=x1+5lnx2s..tk-x1-x2=0其中k是一个可以被赋予任何特定值的常数 验证：如果k=10，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解 验证：当k=4时，此问题的解要求x1=-1 如果此问题的解x须为非负，则当k=4时，最优解是什么？ 当k=20时，此问题的解是什么？通过将此解与问中的解比较，你可以得出什么结论？ 解：设拉格朗日函数为： L=x1+5lnx2+l(k-x1-x2) 一阶条件为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶L=1-l=0¶x1¶L5=-l=0¶x2x2¶L=k-x1-x2=0¶l从而可以解得：l=1=5/x2，即x2=5。

当k=10时，最优解为：x1=x2=5 当k=4时，由中的一阶条件可以解得：x2=5，x1=-1，因此结论成立 如果此问题的解非负时，最优解为：x1=0，x2=4，y=5ln4因为任何正的x1的值都将使y变小 如果k=20，则由可得最优解为：x1=15，x2=5因为x2给y提供了一个递减的边际增量，而x1却没有，所以，所有的最优解要求一旦x2增至5，额外的增量应该全部由x1的增加来实现 8．证明：如果f(x1,x2)是一个凹函数，它同时也是一个拟凹函数可以通过比较方程2.114和方程2.98来完成验证你能给出这个结论的一个直观的解释吗？拟凹函数必然是凹的吗？ 2方程2.98为：f11f22-f12>0； 方程2.114为：f11f22-2f12f1f2+f22f12<0 证明：由凹函数和拟凹函数的定义可知： 函数f(x)，对定义域S上任意两点x1，x2ÎS，qÎ[0,1]，如果有fé)+(1-q)f(x)2，则称函数f(x)为凹函数 ëqx1+(1-q)x2ùû³qf(x1函数f(x)，对定义域S上任意两点x1，x2ÎS，qÎ[0,1]，如果有fé),(f{f(1x1+(1-q)x2ùëqxû³min)2x}，则称函数f(x)为拟凹函数。

可知，对于凹函数有： féëqx1+(1-q)x2ùû³qf(x1)+(1-q)f(x2)³min{f(x1),f(x2)} 因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立 直观的，从图形上看，函数f(x)为拟凹表示线段x1、x2之间的点的函数值要高于点A，或者说曲线ACB之间的点都高于点A显然，当函数f(x)是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的从这一点看，凹函数一定是拟凹函数但是，这不。