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第八章 梁的弯曲问题 第 49 页 共 49 页第八章 弯曲梁论题29：梁弯曲概述 弯曲变形是构件的四大基本变形之一，同时也是建筑结构中最常见、最重要的变形 一、概念图8.1 弯曲变形是指在杆的横向作用外力（集中力、集中力偶、分布力等），杆的轴线由原来的直线变形为曲线，如图8.1所示发生的这种变形称为弯曲变形，而发生弯曲变形的杆称为梁在实际工程结构的弯曲问题中，最基本的、最简单和最常见的是平面弯曲平面弯曲纵向对称面图8.2 具有以下特点：梁上所有荷载在同一平面内；梁变形前的轴线也在该平面内；梁变形后的轴线仍然在该平面内例如、矩形截面梁具有一个纵向对称面，如图8.2所示，当荷载作用在纵向对称面内时，其变形前后轴线也在该纵向对称面内，此时发生的弯曲变形属于平面弯曲在行业内，如果不加特别说明，通常所说的弯曲变形默认是平面弯曲二、工程实例 弯曲变形是指：研究的构件是杆件或类似杆件；杆件所受外力在杆的横向上；变形特征为杆的轴线由直线变为曲线。

根据上述概念，就发现建筑结构中弯曲变形是极为普遍的图8.3所示建筑结构中的梁、板构件，发生了弯曲变形，楼面梁的力学计算简图如图8.3所示图8.3 楼板 楼面梁 三、简单梁的基本形式在此只研究单根梁即简单梁或单跨梁工程中常常以其支座状况分类，可分为下列几种形式：简支梁：一端为固定铰支座，另一端为链杆（或可动铰支座）的梁如图8.4所示外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁如图8.4所示图8.4 悬臂梁：一端为固定端约束，另一端自由的梁如图8.4示论题30：梁的内力计算 类似于杆的轴向拉、压变形，弯曲梁也要产生内力梁的内力是进行其强度计算的基础 一、梁的内力概念梁在外力作用下要发生变形，而在梁的内部必然要抵御这种变形，因而产生内力并不失一般性地以简支梁受集中力为例，该梁处于平衡状态如图8.5所示，那么在梁上某截面上有哪些内力呢？研究内力仍然用截面法在分析内力的截面处，用一假想的垂直梁轴线的平面将梁截为两段，既可以研究左段梁、同样也可以研究右段梁整体梁平衡，左段梁（梁的一部分）也平衡，左段梁受外力不变，而在截面处受到右段对左段的作用力，此即为梁在截面处的内力，从平衡的角度分析，截面上必有竖向方向的内力和内力偶矩如图8.5所示，否则不能满足平衡方程的。

竖向方向的内力称为剪力并表示为；而内力偶矩称为弯矩并表示为这就是梁的内力素如图8.5所示右段梁的内力分析图8.5 在建筑力学中，剪力正负号规定不是从向上或向下的角度来划分，弯矩的正负号规定也不是从顺时针转动或逆时针转动角度来划分通常作如下规定：对于剪力，当其使被研究的梁段部分有顺时针方向转动趋势时为正，反之为负具体作法是直接假设正方向的剪力而不必事先判断剪力的实际方向如图8.6所示图8.6 对于弯矩，当其使被研究的梁段部分下弯（向下凸）时为正，反之为负因此，若考虑梁左段时弯矩应逆时针为正，以此才能保证对左段脱离体部分产生下弯（向下凸）的现象；若考虑右段梁时弯矩应顺时针为正，以此才能保证对右段梁部分产生下弯（向下凸）的现象具体作法依然是直接假设正方向的弯矩而不必事先判断弯矩的实际转向如图8.7所示图8.7 并且，分析左段与分析右段的内力其结论是一致的，因为都是指同一截面的内力，只是观察的角度不一样显然在同一截面，左段截面上的内力与右段截面上的内力实质上是作用力与反作用力的关系二、梁上指定截面的内力计算梁上指定截面的内力计算实质上是：应用截面法假设将梁截为两段，对每段梁部分进行静力平衡条件分析。

具体应用时一般可建立两个平衡方程，一个是投影方程；另一个是力矩平衡方程，默认矩心取在截面的形心处例8.1 计算图8.8示简支梁上截面处的内力图8.8 解：先计算支座反力由梁的整体平衡条件可得：应用截面法从处截开，取左段进行分析如图8.8所示，并建立平衡方程如下：可得： 解得：可得： 解得：对于有集中荷载的梁，在集中力作用的截面处，剪力是不连续的，不能笼统地计算集中力作用截面的剪力，而必须明确是集中力的左侧或右侧截面，两者的数值不同产生的原因是假定（近似计算）集中力作用在一个“点”上造成的，实际上，集中力不可能作用在一个“点”上，而总是分布在梁的一小段长度上同样地，在集中力偶作用的截面处，弯矩也是不连续的例8.2 图8.9所示悬臂梁，，，试计算梁中点截面左侧和右侧的内力图8.9 解：应用截面法从处截开，取右段进行分析较简单以避免计算固端约束的支座反力对于截面左侧，取右段进行分析如图8.9所示并建立平衡方程截面上的剪力与弯矩分别记为可得： 带入数据解得： 可得： 解得：对于截面右侧，仍取右段进行分析如图8.9所示并建立平衡方程截面上的剪力与弯矩分别记为可得： 带入数据解得： 可得： 解得：由于受集中力作用，截面左侧与右侧的剪力相比较发生突变，突变的数据等于该截面处集中力的大小30KN；由于无集中力偶作用，截面左侧与右侧的弯矩相比较不变。

论题31：简单梁受典型荷载时的内力图 梁发生弯曲变形时的内力图是其强度效核的基础，有四种情况是工程中最为常见的 一、梁的内力图一般地，梁的不同截面上的内力不同，即剪力与弯矩随截面位置变化而变化显然要求全面知道梁的内力与其位置之间的变化关系，能反应这种关系的方法是多样的，在建筑上，图象表示法始终是最重要、最直观、最常用的方法这实质上就是内力图的概念剪力图与弯矩图都是函数图形，当梁的轴线为水平线时，其水平坐标表示梁的截面位置，图8.10 纵坐标表示相应截面的剪力与弯矩习惯上，剪力图中以表示剪力的纵坐标向上为正；弯矩图中，要求弯矩图画在受拉一侧，为达到这一最终意图可借助以表示弯矩的纵坐标向下为正的规定（相当于梁弯曲而向下凸为正）建立坐标系统如图8.10所示借助于图8.10所示坐标体系可清楚地表示内力图，但在实际工程和以后的结构课程中常常隐去了坐标体系，不直接画出代表截面位置的坐标二、简单梁受典型荷载的内力图对于弯曲梁的内力问题，工程中有四种情况是最常见并极具典型意义1、悬臂梁在自由端受集中力作用时的内力图。

如图8.11所示2、悬臂梁受均布荷载时的内力图 如图8.12所示图8.12 + 图8.11 + 3、简支梁在中间截面受集中力作用时的内力图如图8.13所示4、简支梁受均布荷载作用时的内力图如图8.14所示－+ 图8.14 M+ －M图8.13 论题32：内力方程法作内力图荷载的内力图 梁的内力图作法有多种，但应用内力方程法作内力图则是最基本的方法一、内力方程法作内力图内力方程法作内力图实质上是建立内力的函数授关系，再根据函数关系作图前已备述：一般情况下，梁的不同截面上的内力不同，即剪力与弯矩随截面位置变化而变化用函数关系可表示为：，称为剪力方程；，称为弯矩方程并且，代表截面位置的水平坐标的起始点，是建立在梁的最左端点上在应用内力方程法作内力图时，为了更清楚地将函数关系 与函数图形结合起来，常常突出了坐标体系，即代表截面位置的坐标没有隐去，这并不妨碍内力图的数值特征，也不影响今后在实际工程和结构计算中隐去坐标体系的作法二、内力方程法作内力图举例例8.3 图8.15所示简支梁受均布荷载作用，试应用内力方程法画出梁的剪力图和弯矩图图8.15 解：先计算支座反力。

由梁的整体平衡条件可得：用截面法将梁截为两部分，并分析左段的平衡如图8.15所示可得： 解得：可得： 解得：剪力方程为一次式，图形为倾斜直线；弯矩方程为二次式，图形为抛物线根据函数作图的方法：直线由两点确定；抛物线由三点确定图8.16 M－+ 当时，；当时，有：当时，当时，对于抛物线顶点，令，得：处剪力图与弯矩图分别如图8.16、所示例8.4 图8.17所示悬臂梁受均布荷载作用，用内力方程法画出梁的剪力图和弯矩图图8.17 ABB 解：用截面法将梁截为两部分，分析右段的平衡可不计算固端支反力如图8.17所示可得： 解得：可得： 解得：剪力方程为一次式，图形为倾斜直线；弯矩方程为二次式，图形为抛物线根据函数作图的方法：直线由两点确定；抛物线由三点确定当时，+ 图8.18 ；当时，当时，；当时，对于抛物线顶点，令，得：处 剪力与弯矩图图分别如图8.18、所示例8.5 图8.19所示简支梁在中间截面C受集中力作用，作梁的剪力与弯矩图BACP图8.19 解：根据整体平衡条件可得：，由于AC与CB。