第2讲　参数方程范文.doc

第2讲　参数方程第 2 讲 参数方程一、知识梳理 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么 x＝f，y＝g就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称 普通方程 参数方程 直线 y－y 0 ＝k(x－x 0 ) x＝x 0 ＋tcos αy＝y 0 ＋tsin α (t 为参数) 圆 (x－x 0 ) 2 ＋(y－y 0 ) 2 ＝R 2 x＝x 0 ＋Rcos θy＝y 0 ＋Rsin θ (θ 为参数且 0≤θ2π) 椭圆 x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0) x＝acos ty＝bsin t (t 为参数且 0≤t2π) 抛物线 y 2 ＝2px(p>0) x＝2pt 2y＝2pt(t 为参数) 常用结论 1．直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线 l 经过点 M 0 (x 0 ，y 0 )，倾斜角为 α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参数方程为 x＝x 0 ＋tcos α ，y＝y 0 ＋tsin α(t 为参数)． ①若 M 1 ，M 2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，则|M 0 M 1→| |M 0 M 2→|＝|t 1 t 2 |，|M 1 M 2→|＝|t 2 －t 1 |＝ 2 －4t 1 t 2 ； ②若线段 M 1 M 2 的中点为 M 3 ，点 M 1 ，M 2 ，M 3 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，t 3 ，则 t 3 ＝ t1 ＋t 22； ③若直线 l 上的线段 M 1 M 2 的中点为 M 0 (x 0 ，y 0 )，则 t 1 ＋t 2 ＝0，t 1 t 2 0. (2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义． 2．掌握圆的参数方程的两种应用 (1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系． (2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题． 二、教材衍化 1．曲线 x＝－1＋cos θ ，y＝2＋sin θ(θ 为参数)的对称中心() A．在直线 y＝2x 上B．在直线 y＝－2x 上 C．在直线 y＝x－1 上D．在直线 y＝x＋1 上 解析：选 B.由 x＝－1＋cos θ ，y＝2＋sin θ ，得 cos θ ＝x＋1，sin θ ＝y－2. 所以(x＋1) 2 ＋(y－2) 2 ＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线 y＝－2x 上． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： x＝t，y＝t－a (t 为参数)过椭圆 C： x＝3cos φ ，y＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________． 解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， 椭圆 C 的普通方程为 x29 ＋y 24 ＝1， 所以椭圆 C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线 l 过点(3，0)， 则 3－a＝0， 所以 a＝3. 答案：3一、思考辨析 判断正误(正确的打√，错误的打) (1)参数方程 x＝f，y＝g中的 x，y 都是参数 t 的函数．() (2)过 M 0 (x 0 ，y 0 )，倾斜角为 α α≠ π2的直线 l 的参数方程为 x＝x 0 ＋tcos α ，y＝y 0 ＋tsin α(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段 M 0 M的数量．() (3)方程 x＝2cos θ ，y＝1＋2sin θ (θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆．() (4)已知椭圆的参数方程 x＝2cos t，y＝4sin t(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝ π3 ，点 O为原点，则直线 OM 的斜率为 3.() 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4) 二、易错纠偏 常见误区 | Ｋ(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错． 1．若曲线 C 的参数方程为 x＝1＋cos 2 θ ，y＝sin 2 θ(θ 为参数)，则曲线 C 上的点的轨迹是() A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2，0)为端点的射线 C．圆(x－1) 2 ＋y 2 ＝1 D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段 解析：选 D.将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故选 D. 2．已知直线 x＝x 0 ＋at，y＝y 0 ＋bt(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t 1 ，t 2 ，则|AB|＝() A．|t 1 ＋t 2 |B．|t 1 －t 2 | C. a 2 ＋b 2 |t 1 －t 2 |D．|t 1 －t 2 |a 2 ＋b 2解 析 ：选 C. 依 题 意 ， A(x 0 ＋ at 1 ， y 0 ＋ bt 1 ) ， B(x 0 ＋ at 2 ， y 0 ＋ bt 2 ) ， 则 |AB| ＝[x 0 ＋at 1 －] 2 ＋[y 0 ＋bt 1 －] 2 ＝ a 2 ＋b 2 |t 1 －t 2 |.故选 C. 3．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ(cos θ ＋sin θ )＝－2，曲线 C 2 的参数方程为 x＝t2 ，y＝2 2t (t 为参数)，则 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为________． 解析：由 ρ(cos θ ＋sin θ )＝－2，得 x＋y＝－2 ①. 又 x＝t2 ，y＝2 2t， 消去 t，得 y2 ＝8x ②. 联立①②得 x＝2，y＝－4， 即交点坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程． (1) x＝ 1t ，y＝ 1tt 2 －1(t 为参数)； (2) x＝2＋sin 2 θ ，y＝－1＋cos 2 θ (θ 为参数)． 解：(1)由 t 2 －1≥0⇒t≥1 或 t≤－1 ⇒0x≤1 或－1≤x0.由 x＝ 1t ①，y＝ 1tt 2 －1②， ①式代入②式得 x 2 ＋y 2 ＝1. 其中 0x≤1，0≤y1或 －1≤x0，－1y≤0. (2)由 x＝2＋sin 2 θ ，0≤sin 2 θ ≤1 ⇒2≤2＋sin 2 θ ≤3⇒2≤x≤3， x＝2＋sin 2 θ ，y＝－1＋cos 2θ ⇒ x－2＝sin 2 θ ，y＝－1＋1－2sin 2 θ ⇒ x－2＝sin 2 θ ，y＝－2sin 2 θ⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 2．已知曲线 C 1 ： x＝－4＋cos t，y＝3＋sin t(t 为参数)，曲线 C 2 ： x＝8cos θ ，y＝3sin θ(θ 为参数)．化C 1 ，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 解：曲线 C 1 ：(x＋4) 2 ＋(y－3) 2 ＝1，曲线 C 2 ：x264 ＋y 29 ＝1， 所以曲线 C 1 是以(－4，3)为圆心，1 为半径的圆； 曲线 C 2 是中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆． 错误! ! 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin 2 θ ＋cos 2 θ ＝1 等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2022安徽宣城模拟)在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的参数方程为 x＝2cos θ ，y＝2sin θ(θ为参数)，直线 l 的参数方程为 x＝2＋t，y＝4＋t(t 为参数)． (1)若直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，求弦长|AB|，若点 P(2，4)，求|PA||PB|的值； (2)以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ ＋2 3sin θ ，圆 O 和圆 C 的交点为 P，Q，求弦 PQ 所在直线的直角坐标方程． 【解】(1)由直线 l 的参数方程 x＝2＋t，y＝4＋t(t 为参数)，消去参数 t 可得 x－y＋2＝0，即直线 l 的普通方程为 x－y＋2＝0. 圆 O 的参数方程为 x＝2cos θ ，y＝2sin θ(θ 为参数)，根据 sin 2 θ ＋cos 2 θ ＝1 消去参数 θ，可得x 2 ＋y 2 ＝4，所以圆心 O 到直线 l 的距离 d＝22 ＝ 2，故弦长|AB|＝2r 2 －d 2 ＝2 2. 把直线 l 的参数方程标准化可得 x＝2＋22t，y＝4＋22t，将其代入圆 O 的方程 x 2 ＋y 2 ＝4 得 t 2 ＋6 2t＋16＝0， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ， 所以|PA||PB|＝|t 1 t 2 |＝16. (2)圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ ＋2 3sin θ ，利用 ρ 2 ＝x 2 ＋y 2 ， ρ cos θ ＝x， ρ sin θ ＝y，可得圆 C 的普通方程为 x 2 ＋y 2 ＝2x＋2 3y. 因为圆 O 的直角坐标方程为 x 2 ＋y 2 ＝4，所以弦 PQ 所在直线的直角坐标方程为 4＝2x＋2 3y，即 x＋ 3y－2＝0. 错误! ! (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：过定点 M 0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M 1 ，M 2 ，所对应的参数分别为 t 1 ，t 2 . ①弦长 l＝|t 1 －t 2 |； ②弦 M 1 M 2 的中点⇒t 1 ＋t 2 ＝0； ③|M 0 M 1 ||M 0 M 2 |＝|t 1 t 2 |.1．(2022日照模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ－ π3，直线 l 过点 P(0，－ 3)且倾斜角为 π3 . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|的值． 解：(1)曲线 C：ρ＝4cos θ－ π3⇒ ρ ＝4cos θ cos π3 ＋4sin θ sin π3 ， 所以 ρ 2 ＝2ρcos θ ＋2 3ρsin θ ， 即 x 2 ＋y 2 ＝2x＋2 3y， 得曲线 C 的直角坐标方程为(x－1) 2 ＋(y－ 3) 2 ＝4. 直线 l 的。