三章节量子力学中力学量.ppt

第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量1.算符的性质算符的性质2.动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符3.厄密算符的本征值和本征函数厄密算符的本征值和本征函数4.算符与力学量的关系算符与力学量的关系5. 任意观测量的测不准关系任意观测量的测不准关系14.1 算符的性质算符的性质 什么是算符？什么是算符？ 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号 称为一个算符表示为2线性算符典型的非线性算符为典型的非线性算符为 位置算符和动量算符均为线性算符均为线性算符3哈密顿算符：角动量算符：坐标和动量算符4厄密算符厄密算符两个波函数和，满足下列等式 称为算符称为算符 的本征值，的本征值， 称为本征函数，方程称为算符称为本征函数，方程称为算符的本征值方程的本征值方程若一个算符 作用于一个函数的算符 称为厄密算符5 在量子力学中，为了使所描述的力学量具有意义，我们要求它们的平均值为实数，即量子力学中表示力学量的算符都是量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符厄密算符厄密算符的本征值为实数若则所以如果 为厄密算符6动量算符的厄密性动量算符的厄密性证明动量算符 的厄密性因为 和是有限的7算符运算初步1) 算符之和：2) 算符之积：一般情况下，算符之积不满足交换律一般情况下，算符之积不满足交换律83) 算符的对易性算符的对易性 是体系的任意波函数，所以是体系的任意波函数，所以例如果记为9对易式满足下列恒等式104.2 动量和角动量算符动量和角动量算符1) 动量算符动量算符分量形式动量算符各分量与坐标算符各分量之间的对易关系动量平方算符11三个分量形式：动量算符的本征函数动量算符的本征值方程P是动量算符的本征值，是动量算符的本征值， p（（r））是动量算符的本征函数。

是动量算符的本征函数122) 2) 动量算符本征函数的动量算符本征函数的““归一化归一化””一维粒子的动量本征值为px的本征函数px可以取-~+中连续变化的一切实数，为了确定C，考虑积分因为（a）本征值是连续的13如果取三维情况，14（b）本征值是分立的考虑粒子限制在一维[-L/2, L/2]中运动，动量的本征态为根据边界条件所以15或可以看出，动量取值是不连续的，相应的归一化本征函数为三维情况163) 3) 角动量算符角动量算符角动量算符的定义式角动量算符的定义式其分量形式其分量形式角动量平方算符角动量平方算符17角动量算符的各分量之间是不对易的角动量算符的各分量之间是不对易的18同理19同理角动量平方算符与其各分量之间是对易的角动量平方算符与其各分量之间是对易的204 4）球坐标系中的角动量）球坐标系中的角动量21例：求例：求算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数本征方程表示为：本征方程表示为：C由周期性边界条件确定由周期性边界条件确定＋＋2 ，体系回到原来位置，体系回到原来位置, 要要求求 lz= m, m=0, ±1, ±2, …22算符Lz的归一化本征函数表示为归一化本征函数表示为lz= m为算符为算符lz的本征值，相应的本征函数表示为的本征值，相应的本征函数表示为相应的本征值为 m235）角动量算符的本征函数和本征值Y(, )是角动量平方算符的本征函数, ħ2是L2的本征值由于算符L2与径向r无关，其本征值方程只与角度相关，写为令令24Y(, )在变化的整个区域内（0）必须有限，必须有λ=l(l+1), l=0, 1, 2, …（连带勒让德微分方程）（m=0, 勒让德微分方程）25是缔合勒让德（Legendre）多项式，Nlm是归一化常数26这样, (L2, lz)的正交归一正交归一的共同本征态表为Ylm称为球谐函数, 它们满足l表征了角动量的大小，称为角量子数，m称为磁量子数，对应一个l值，m可以取2l+1个值。

简并：一个本征值对应一个以上本征函数的情况简并度：对应于同一本征值的本征函数的数目正交归一正交归一27在Ylm态中，体系角动量在z方向上的投影为m前面几个球函数284.3 厄密算符本征函数的性质厄密算符本征函数的性质如果两个函数1和2满足1和2正交属于不同本征值的厄密算符本征函数正交属于不同本征值的厄密算符本征函数正交29两式相减得对整个体积空间进行积分由于是厄密算符, 左边积分在整个空间的积分相等30 因为因为 ln   lm从而证明了两波函数是正交的 如果厄密算符的本征值是连续分布的，则31f重简并： 对一个本征值ln, 若同时有f个本征函数与之对应属于同一个本征值ln的简并波函数ψnk,，有一般来说，一般来说，ψnk不正交，不正交， 但总可以找到正交函数但总可以找到正交函数例题例题 对下面两个氢原子的未归一化的1s和2s电子的波函数证明它们的正交性32说明两波函数是正交说明两波函数是正交.解解 根据正交性的定义，有334.4 算符与力学量的关系算符与力学量的关系（1）力学量算符的本征函数组成完全系如果算符如果算符F是厄密算符，它的正交归一化本征函数为是厄密算符，它的正交归一化本征函数为 n(x)，，对应的本征值为对应的本征值为 n，，则任意函数则任意函数 (x)可以按可以按 n(x)展开，展开， n(x)组成完全系。

组成完全系由由 n(x)的的正交归一化性，系数正交归一化性，系数cn为为34在量子力学中，表示力学量的算符为厄密算符，它们的本征函数组成完全系如果如果 (x)表示体系的状态波函数，则表示体系的状态波函数，则 (x)可以按力学量算符可以按力学量算符F的全部本征函数展开若的全部本征函数展开若 (x)已归一化，则已归一化，则35 的物理意义：表示在的物理意义：表示在 (x)态中测量力学量态中测量力学量F得到的结果是得到的结果是算符算符F的本征态的本征态 n的的几率，也被称为几率振幅几率，也被称为几率振幅解：根据Ylm的的正交归一化性正交归一化性，得到例：设体系处于求 和 的可能测值及相应的几率36根据可能测值相应的几率和 的可能测值为及相应的几率为：37则则任意力学量任意力学量F的平均值的平均值（（2）力学量）力学量F的平均值的平均值（（ (x)已经归一化）已经归一化）38如果如果 (x)没有归一化，则没有归一化，则 如果波函数如果波函数ψ已知，我们可以计算位置、动量及其它物理量该已知，我们可以计算位置、动量及其它物理量该态中的平均值。

态中的平均值例题例题：氢原子基态：氢原子基态1s电子波函数为电子波函数为求动能求动能T（（p2/2m））和势能和势能V（（-e2/r））的平均值的平均值39解：40总能量41解：首先将解：首先将 100按按动量算符的本征值动量算符的本征值 p展开，由于动量算符展开，由于动量算符组成连续谱，则组成连续谱，则例题例题2：： 氢原子处于基态时的波函数为氢原子处于基态时的波函数为求电子动量的几率分布求电子动量的几率分布几率振幅为42代入上式，得动量本征值为p p的本征函数43先对先对 积分，再对积分，再对 积分，最后再对积分，最后再对r 积分44动量的几率密度为动量的几率密度为当氢原子处于基态时，电子动量的绝对值在当氢原子处于基态时，电子动量的绝对值在pp+dp范围内范围内的几率为：的几率为：可以证明各种可能的几率之和为1， 即45 n和和 n分别是分别是算符算符F和和G的本征值，相应的本征值方程为：的本征值，相应的本征值方程为：4.5.1 共同本征函数共同本征函数 4.5 任意观测量的测不准关系任意观测量的测不准关系定理：如果两个算符有共同的本征函数，并组成完全系，则定理：如果两个算符有共同的本征函数，并组成完全系，则这两个算符对易这两个算符对易由于由于 n组成完全系，组成完全系，46因为是任意波函数，所以相互对易，有共同的本征函数相互对易，有共同的本征函数 p, 且且 p组成完全组成完全系，系，三者能够同时精确测量三者能够同时精确测量在中心力场中，三者相互对易，有共同的本征函在中心力场中，三者相互对易，有共同的本征函数。

数氢原子的定态波函数，氢原子的定态波函数，三者能够同时精确测三者能够同时精确测量，量， 确定的能量确定的能量En，，l(l+1)2和和m 具有共同本征函数的相互对易的力学量称为具有共同本征函数的相互对易的力学量称为力学量完全集力学量完全集47一般一般C为厄密算符为厄密算符. 因为因为设两个物理量设两个物理量A和和B都是厄密算符都是厄密算符, 它们的对易性为它们的对易性为4.5.2 测不准关系测不准关系如果两个算符不对易，一般情况下，它们不能同时有确定值48任意态任意态ψ中，对应算符中，对应算符A和和B物理量的平均值为物理量的平均值为引入了平均值偏差引入了平均值偏差所以C为厄密算符为厄密算符也是厄密算符 49考察积分考察积分 α.为实参数50代入上式对每个实数对每个实数α, 上式成立的条件为上式成立的条件为51坐标和动量之间的测不准关系为坐标和动量之间的测不准关系为这就是测不准关系这就是测不准关系测不准关系表明，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是粒子－波动两重性的反映52物理上理解为：按照德布罗意关系p=h/λ, 波长λ是描述波在空间变化快慢的量，与整个波相联系，因此，“在空间某点x的波长”的提法是没有意义的，同理，“粒子在空间某一点的动量”的提法也是没有意义的。

从宏观上看，h是一个非常小的量，测不准关系与日常生活并无矛盾测不准关系指出了使用经典粒子运动概念的一个限度，即用h来表征.当h0, 量子力学回到经典力学. 及量子效应可以忽略53l例题：例题：确定箱中粒子的精确位置确定箱中粒子的精确位置设箱的边长为设箱的边长为l，，l= x, 当当l= x0, 则粒子动量的测不准性为则粒子动量的测不准性为由于粒子在箱中的运动为驻波的形式，其波长为由于粒子在箱中的运动为驻波的形式，其波长为l量级那么粒子的动能为：那么粒子的动能为：由此可知，由此可知，l越小，箱体越小，越小，箱体越小， 动能和动量越大，动能和动量越大， 这正是实验得这正是实验得到的结果到的结果54根据测不准关系，还可以计算线性谐振子的零点能量根据测不准关系，还可以计算线性谐振子的零点能量55分部积分，得分部积分，得56线性谐振子的平均能量为对对 x求最小值，得到求最小值，得到57习题：P100~102, 3.1, 3.6, 3.7, 3.8, 3.1258。