高中数学教学指导三角函数学习中要用好单位圆.doc

高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示．如：设角的终边与单位圆的交点是，则由三角函数定义：，．即点A可以表示为，据此我们可以得到许多常用的结论和解题方法．例1 证明以下诱导公式：（1），，；（2），，；（3），，．证明：设角的终边与单位圆的交点是，则（1） 设角的终边与单位圆的交点是B，根据三角函数定义，B点坐标为；又角的终边与角的终边关于y轴对称，故B点坐标为．因此，，．以上两式相除得：．（2） 设角的终边与单位圆的交点是C，根据三角函数定义，C点坐标为；又角终边与角的终边关于原点对称，故C点坐标为．Oxy（图1）1因此，，．以上两式相除得：． 同理可证（3）． 例2 求下列函数的定义域：（1）；（2）．解：这类问题通常就是比较正弦和余弦函数值的大小．如果利用两个函数图像来比较，至少需要画出两个函数各一个周期的图像，繁琐一些．若利用单位圆来分析正弦和余弦函数值的分布，就相对简单多了．（1） 如图（1），当（）时，． 所以，直线把单位圆分成了两部分，在其中的一部分上，在另一部分上（类似于线性规划中可行域的确定）．通过特殊角验证，不难知道，yOx（图2）1当 （）时，．因此，函数的定义域是．（2） 如图（2），同理可求得的定义域是． 事实上，通过例2我们在单位圆上得到了函数和的整个函数值的变化（增减）和分布（正负）情况.Oxy（图3）1另外，在三角函数的学习中，有时会出现这样一个问题，有的同学在求解某个角的范围时，可能会写出“单边不等式”．例如：等，这多半是错误的．因为，在单位圆上表示一下这些角就知道了，等价于！从这里也可以看出，单位圆表示角有得天独厚的优势，相比用三角函数图像解题，单位圆“占地面积小”． 例3 求下列函数的值域：（1）；（2）.解：（1）如图3，由单位圆不难看出，当时，．所以，函数的值域是．（2）当时，．类似（1），不难得到 ．yOx（图4）0-110所以，函数的值域是．例4 解下列三角不等式：（1）；（2）.解：（1）如图4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当 时，即 时，. 因此，原不等式的解集是.待添加的隐藏文字内容2Oxy（图5）0110 （2）如图5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知当 时，即 时，.因此，原不等式的解集是.例5 求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）.解：（1）如图4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当 时，即时，函数单调递增.因此，函数的单调递增区间是[]，. （2）如图5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知当 时，即时，函数单调递增.因此，函数的单调递增区间是()，.单位圆在三角函数学习中应用非常广泛，以上只是举了几个简单的例子加以说明，希望大家在学习中不断总结、体会.。