2.2012年湖南高考理科数学试卷及答案(精美word版_).doc

· 1 ·2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合 ， ，则}1,0{M}{2xNNMA． B． C． D． 1,}1,0{2．命题“若 ，则 ”的逆否命题是4tanA．若 ，则 B．若 ，则14tanC．若 ，则 D．若 ，则 tan1t43．某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是A B C D 4．设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 ),(iyx，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是),21(ni 71.85.0ˆxyA．y 与 x 具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心 ),(yxC．若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 kg85.0D．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 kg 795．已知双曲线 的焦距为 10 ，点 在 C 的渐近线上，则 C 的方程为1:2byax)1,2(PA． B． C． D． 52005208yx1802yx6．函数 的值域为)6cos(in)(xxf· 2 ·A． B． C． D． ]2,[]3,[]1,[]23,[7．在 中， ， ， ，则CABCA． 3 B． 7 C． 2 D． 3 8．已知两条直线 和 ， 与函数 的图像从左至右相交于点 ，myl:1 )0(18:2myl 1lxy2logBA,与函数 的图像从左至右相交于点 ．记线段 AC 和 BD 在 轴上的投影长度分别2lx2og,为 ．当 m 变化时， ba的最小值为ba,A． 16 B． 8 C． D． 34834二、填空题： 本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第 9，10，11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9． 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 （t 为参数）与曲线 （ 为参数，yxC21,: cos3,in:2yaxC）有一个公共点在 轴上，则 ． 0axa10．不等式 的解集为 ．012x11．如图 2，过点 的直线与⊙ 相交于 两点．若 ，POBA,1P， ，则⊙ 的半径等于 ． AB3（二）必做题（12～16 题）12．已知复数 （ 为虚数单位)，则 ． 2(izz13． 的二项展开式中的常数项为 ． （用数字作答） 6)12(x14．如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 ，则输出的数 ． 3,1nxS· 3 ·15．函数 的导函数 的部分图象如图 4 所示，其中， 为图象与 轴的交点，)sin()xf )(xfyPy为图象与 轴的两个交点， 为图象的最低点．CA, B（1）若 ，点 的坐标为 ，则 ； 6P)23,0(（2）若在曲线段 AB与 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 内的概率为 ．x ABC16．设 ，将 个数 依次放入编号为 的 个位置，得到排列*(,)nNN12,Nx 1,2N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 2N和后012Px个位置，得到排列 ，将此操作称为 变换．将 分成两段，每段 个数，并13124NNPxx  C1P对每段作 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 个数，并对每段作 变换，得到C2iniP2iiNC．例如，当 时， ，此时 位于 中的第 4 个位置．1iP8N15372648xx7（1）当 时， 位于 中的第 个位置； 67x2P（2）当 时， 位于 中的第 个位置．()n134三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． （本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相· 4 ·关数据，如下表所示．已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％．（Ⅰ）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望；,xy X（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 分钟的概率． （注：将频率视为概率）2.518． （本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，PABCDABCD43BC5AD， 是 的中点．90DABE（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角和 与平面P 所成的角BC相等，求四棱锥 的体积．PCD19． （本小题满分 12 分）已知数列 的各项均为正数，记 ， ，{}na12()nAna 231()nBa，342()nC ,.· 5 ·（Ⅰ）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求数列 的通项公12,5a*nN(),()AnBC{}na式.（Ⅱ）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数{}nq *nN组成公比为 的等比数列.(),()ABC20． （本小题满分 13 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件） ．已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C 部件 2 件．该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 （ 为正整数） ．k（Ⅰ）设生产 A 部件的人数为 ，分别写出完成 A，B，C 三种部件生产需要的时间；x（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最k短时具体的人数分组方案．21． （本小题满分 13 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 上的点均在圆 外，且对 上任意一点 ， 到直线1C22:(5)9xy1CM的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值.2x2（Ⅰ）求曲线 的方程；1· 6 ·（Ⅱ）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 和0(,)3)Pxy2CP2C1C,AB.证明：当 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值.CD4x,ABD22． （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 .()axfe0（Ⅰ）若对一切 ， 恒成立，求 的取值集合.R()1fa（Ⅱ）在函数 的图像上取定两点 ，记直线 的斜率为 .问：是否()fx1212(,),()()AxfBxfxABk存在 ，使 成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.012,)fk0· 7 ·2012 湖南高考数学试卷参考答案（理科）1、 选择题BCDDA BAB2、 填空题选做题 【 】 【 】 【 】 23}41{x6必做题 【 】 【 】 【 】 【 、 4】 【6、 】10634321n3、解答题17、 【解析】 （Ⅰ） ，5,20xy()1.9EX（Ⅱ） 98018、 【解析】 （Ⅰ）略（Ⅱ） 128519、 【解析】 （Ⅰ） 43na*()N（Ⅱ）必要性易证，下证充分性：2121, ()nnnnnBqACBqAaqa当 时，由 ，∴ ，1121a即 是公比为 的等比数列，充分性得证.{}na20、 【解析】 （Ⅰ） ；12300150(),(),()2()TxxTxkkx其中 均为不超过 200 的正整数．,k（Ⅱ） 123()max{(),()}fTx *0,)1xNk，所以：1231,;TTk↓ ↓ ↑（1）当 时， ，k5()a{,}203fxx1504239xx· 8 ·易得 ，故 ；(4)5ff8()421fx（2）当 时， ， 3k13ma{,}fxT350150()()23xkx，由（1）知， ；05(),2f x8f（3）当 时， ， ，1k70()a{,}fx275011xx易得 ，故 ；739()9f综上， 时，完成订单任务的时间最短，此时，生产 A，B ，C 三种部件的人数分别是 44，88，68.2k21、 【解析】 （Ⅰ） 0yx（Ⅱ）由已知 ，可设切线斜率为 ，易知 存在且不为 0.(4,)Pk由点线距公式可得： ——（1）22071890ky联立切线和 方程得：1C(4)k故 00212341(),yky；由（1）可得20121234[()]64k0124yk代入得 .2012341()0yyk∴当 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值 6400.Px,ABCD22、 【解析】 （Ⅰ） ； ；()20afe01()lnaxfea易得 .min01()lnxfa令 ， ；()lgtt0()l1gttt易得 ；由题意得 ，即max0()1a故满足题意时， 的取值集合为 {}（Ⅱ）设 ，易知 ；21()axexfk()x↑· 9 ·可得 ，121()1 212() )axxeax，12()2 12() )axx设 0(),kkFeFemin0()()Fk时，00，11212()()0axex2212()()0axex是连续单调函数， 由零点存在原理可知，存在唯一的 ，012(,使得 ；解方程得 . 又0()x210ln()axe()x↑∴存在 ，使 成立，且 的取值范围是 .012(,)()fxk0x212(ln,)axe。