第三章 微专题5 空间直角坐标系的构建策略.docx

微专题5空间直角坐标系的构建策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他 向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离 问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法， 希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.一、利用共顶点的互相垂直的三条棱例1已知直四棱柱中，AA] = 2,底面ABCD是直角梯形，/DAB为直角，AB^CD，AB=4, AD=2, DC=1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.解 如图，以D为坐标原点，分别以DA , DC , DD1所在直线为x轴”轴，z轴，建立空间 直角坐标系Dxyz ,则 D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0), 所以夙］=(-2,-3,2),CD 二(0 ,-1,0).所以 cos {BC, , CD)-BC, - CD— 1iBc1iicdi_ 3•而17 -故异面直线Bq与DC所成角的余弦值为号.点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的 三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标， 再求两异面直线的方向向量的夹角即可.二、利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABL平面BB&C，E为棱C1C的中点，已知AB= 疆，BB1 = 2, BC=1，/BCC]=§试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.解过点8作BP垂直BB1交C1C于点P ,提因为 AB上平面BB1C1C，所以 AB±BP , AB±BB1 ,以B为坐标原点，分别以BP , BB1 , BA所在直线为x轴”轴，［轴，建立空间直角坐标系Bxyz.又 BPOBB1，BB1n AB = B ,且 BB1 , AB 平面 ABBlA1，所以 BPL平面 ABB1A1 , 因为 AB ^2 , BB] = 2 , BC=1 , ZBCC1=n, 所以CP孔 C p = %BP号，则各点坐标分别为B(0 , 0,0) , A(0,0 q/2) , B1(0,2,0) , c|C1号，Si乎 2 ,。

)，a1(0,2 , V2) , p|平,0,0）点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方 便.本题已知条件中的垂直关系“AB±平面BBqc”，可作为建系的突破口.三、利用面面垂直关系 例3 如图1,在等腰梯形ABCD中,ADIIBC, AB= AD=2, ZABC=60°, E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE±平面AEC（如图2）,连接BC, BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.图1 图忸解取AE的中点M，连接BM , DM.因为在等腰梯形ABCD中，AD^BC , AB=AD , A ABC = 60° , E是BC的中点，所以^ABE与^ADE都是等边三角形,所以 BM±AE，DMLAE.又平面BAE±平面AEC，所以BMLMD.以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在直线为x轴”轴，z轴，建立空间直角坐标系M&，如图，则 B（0,0，..「），C（2，.抒，0），D（0，-捉，0），M（0,0,0）,所以尻二（2,0,0） , BD = （0 ,翌，-招）,MD = （0 ,提,0）,设平面BCD的法向量为m = （x ,y , z）,「一m-DC = 2x = 0，由］ 取 y = 1，得 m = （0,1,1），m-BD = 0 -好=0.又因平面ABE的一个法向量尻=（0，*3，0），所以 cos〈m，MfD）= m MD 二辛，-^, 2ImllMDI所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直 角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两 平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方 向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其 大小.四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系例4如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O, O分别为上、下底面的中心，且A]在底面ABCD上的射影是O.(1) 求证：平面O{DC±平面ABCD；(2) 若点E, F分别在棱AA『BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF±AD?(1)证明 如图所示，以O为坐标原点,OA , OB , OA1所在直线分别为x轴"轴，乙轴建立 空间直角坐标系.设 OA — 1 , OA1 = a.则 A(1，0,0) , B(0，1，0) , A1(0,0 , a) , C(- 1,0,0) , D(0 ,- 1,0) , O1( - 1,0 , a).则 O^D = (1 ,-1 ,-a) , O^C = (0,0 ,-a).设m = (x1ly1l z1) ,n = (x2, y2, z2)分别是平面O1DC和平面ABCD的法向量.由＜m・ O> = 0,m• cTC = 0，x1-z1a 二 0.令 x1 = 1，则 m = (1,1,0)，而 n =AOA1 -(0,0 , /故m・n - 0 ,即平面O]DC的法向量与平面ABCD的法向量垂直，古攵平面O1DC±平面ABCD. (2)解由(1)可知，OE- G，0，$),疝1 - ( - 1,0，a),AD = BC = ( -1 ,- 1,0).设BF-yBC，则 BF-(-Y，-Y，0)，故点 F 的坐标为(-Y，1 -Y，0)，「・FE-Q + y，Y - 1，；a) EF±AD FE・AD - 0，而F^ aD --3-Y-Y+1-0,解得Y -：.故当F为BC的三等分点(靠 近B)时，有EF± AD.点评依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系.。