第四章平面力系简化平衡方程.ppt
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第四章第四章 平面力系的简化与平衡方程平面力系的简化与平衡方程 工程实例：工程实例：厂房吊车梁实例：厂房吊车梁实例：平面任意力系：平面任意力系：本章任务：本章任务：• （1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 • （2）掌握平面任意力系的平衡条件·平衡方 程 • （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）一、平面一般力系向一点一、平面一般力系向一点( (简化中心简化中心OO点点) )简化：简化：F1ACFnBF2OF1´m1mnFn´m2F2´ˋˊOYX将刚体上的所有 力平移至指定点O:简化中心F1´=F1 ， F2´=F2 ， Fi´=Fi ， Fn´=Fn ，R´=F1´+F2´+F3´++ Fn´=∑FiMO=∑mO（Fi）R´MOmi= mi（Fi）， i=1，2， ，nFimi Fi• 简化中心：O点称为简化中心• 主矢 R′：力系中各力的矢量和；和简化中心的位 置无 关• 主 矩 MO：平面力系中各力对于简化中心的矩的代数和 称为该力系对简化中心的主矩，其一般随简化中心的位 置的改变而变化• 结 论：平面任意力系向作用面任一点简化后，一般 得到一个力和一个力偶。
这个力的力矢量等于力系中各 力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力对简化 中心之矩的代数和，即力系对简化中心的主矩R′方向: cosα = ————— (4-5)cosβ = ————— RˊxRˊyR ˊR ˊ公式：公式： （1）主矢量R′：R′=F1+F2+…+Fn =∑FiR′大小：R′=√(R’x)2+(R’y)2 = √（∑X）2+（∑Y）2 (4-4)(2)主矩Mo: Mo=m1+m2+…+mn =∑mi=∑Mo（Fi） (4-2) [ [例例4-1]4-1] 在边长为在边长为a=1ma=1m的正方形的四个顶点上，作用有的正方形的四个顶点上，作用有 F F1 1、、F F2 2 、、F F3 3、、F F4 4等四个力，如图所示已知等四个力，如图所示已知F F1 1=40N=40N，，F F2 2=60N=60N，，F F3 3=60N=60N，，F F4 4=80N=80N试求该力系向试求该力系向A A点简化的结果。
点简化的结果解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7NR′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1NR′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4Ncos=60.7/122.4 , =60.27°cos= -106.1/122.4， =29.9°F1F2AyxF360°F4 30°RMA MA=∑Mo（Fi）=(-60cos45 °-60×cos60 °-60sin60 +80sin30 °) ×1=-84.4 N·m二、平面力系简化结果讨论二、平面力系简化结果讨论• 1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态OYX2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩并且简化结 果与 简化中心位置无关OYXMO≠0R′=0MO=0平衡合力偶• 3．若 R´≠0， Mo=0，原力系 简化为一合力， 合力通过简化中 心主矢R´即为 原力系的合力4．若 R´≠0， Mo≠0，原力系可 通过应用力的平移 定理进一步简化为 一合力。
合力的作 用线不通过简化中 心OORˊMORˊ≠0OYX合力R´≠0Od=MO/R′R=Rˊd合 力合力矩定理：合力矩定理：平面任意力系的合力对作用平面内任意平面任意力系的合力对作用平面内任意 一一 点之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和点之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和Mo= R′ d= Rd=mo(R)Mo =∑mo （Fi）Mo(R) =∑mo （Fi）OYXR´MOF1A CFnBF2FiOF1´m1mn Fn´m2F2´ˋˊmi Fid=MO/R′O R=Rˊd合 力1．平面一般力系平衡的充分与必要的条件是： R′=0， Mo=0 三、平面任意力系的平衡条件三、平面任意力系的平衡条件 · · 平衡方程平衡方程2．平面一般力系的平衡方程： （1）一般式： ∑X=0， ∑Y=0， ∑ Mo（Fi）=0 （4-9）（2）二矩式： ∑X=0，∑mA（Fi）=0 ∑mB（Fi）=0 限制条件：X轴不能与A点和B点的连线垂直。
4-10）OYX若不满足限制条件，不能保证为 平衡力系，方程组线性相关R´≠0AB（3）三矩式： ∑mA（F i）=0 ∑mB（Fi）=0 ∑mC（Fi）=0 限制条件：A、B、C三点不共线4-11）CYX若不满足限制条件，不能保证为 平衡力系，方程组线性相关R´≠0AB• • [ [例例4-3]4-3] 图示刚架图示刚架ABAB受均匀分布的风荷载的作用，单位长度受均匀分布的风荷载的作用，单位长度 上承受的风压为上承受的风压为q q（（N/mN/m），），给定给定q q和刚架的尺寸，求支座和刚架的尺寸，求支座A A 和和B B 约束反力约束反力qAB1.5LLXyYAXANB解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；（2）列平衡方程，求解未知力∑X=0， ∑Y=0，∑ mA（Fi）=0XA+qL =0 YA+NB=0 -0.5L×qL1.5LNB=0XA =-qL(←)NB =qL/3YA = -qL/3(↓)• • [ [例例4-4]4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。
求在十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示求在 水平力水平力P P的作用下各支座的约束反力的作用下各支座的约束反力BCP30° AKLaaaayxNANBNC解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；（2）二矩式平衡方程：∑mL（Fi）=0 ∑mB（Fi）=0 ∑Y=0，Pa-NC a+2aNAcos30°=02Pa+2aNAcos30°- aNAsin30°=0NB-NAcos30°=0NA=-1.62P(↖)NB=-1.40P(↓)NC=-1.81P(→)四四、、平面平行力系（平面任意力系的一种特殊情况）平面平行力系（平面任意力系的一种特殊情况）qL/2L/2合力Q=ql/22L/3L/3q合力Q=ql均布荷载三角形分布荷载平面平行力系平衡方程（Y轴为平行轴）：（1）一矩式：∑Y=0， ∑Mo（F）=0 （4-12）（2）二矩式：∑MA（F）=0 ，∑MB（F）=0 （4-13）限制条件：A、B连线不与Y轴平行• •[ [例例4-7]4-7]塔式起重机如图所示机架自重塔式起重机如图所示。
机架自重P=700kNP=700kN，，作用线通过塔作用线通过塔 架轴线最大起重量架轴线最大起重量W=200kNW=200kN，，最大吊臂长为最大吊臂长为12m12m，，平衡块重为平衡块重为 ，，它到塔架轴线的距离为它到塔架轴线的距离为6m6m为保证起重机在满载和空载时都为保证起重机在满载和空载时都 不翻倒，试求平衡块重量不翻倒，试求平衡块重量应取值的范围应取值的范围 解（1）取整体为研究对象，作受力图如图；∑mA（Fi）=0，（6-2）Qmax-2P=0（2）满载时临界平衡状态：起重机有绕B点向右翻倒的倾势 补充方程：NA=0QWPAB NANB6m12m2m2mQmin=75kN （3）空载时临界平衡状态：W=0起重机有绕A点向左产生翻倒的倾势 补充方程：NB=0∑mB（Fi）=0（6+2）Qmin+2P-W（12-2）=0Qmax=350kN（4）75kN ≤Q≤350kN五、物体系的平衡问题五、物体系的平衡问题[ [例例4-8]4-8]由折杆由折杆ACAC和和BCBC铰接组成的厂房排架结构如图铰接组成的厂房排架结构如图 所示。
求固定支座所示求固定支座A A和和B B的约束反力的约束反力 解（1）取整体为研究对象：∑X=0 XA + qL =XB ∑ mA（Fi）=0 YB=(qa2/2+P×3a/2)/(2a)= qa/4+3P/4(2)取BC为研究对象：∑ mc（Fi）=0 XB=(YB×a-P×a/2)/a= qa/4+P/4 ∑X=0 XC=XB=qa/4+P/4∑Y=0 YC=P-YB=P/4-qa/4qPYAXAYc′Xc′YC XcYBXBXyAB aaYAXAqPaa/2YBXB C六、考虑摩擦的平衡问题六、考虑摩擦的平衡问题静摩擦系数 P56 表4-1求解考虑摩擦的平衡问题，需要注意以下三点：求解考虑摩擦的平衡问题，需要注意以下三点：(1)研究临界平衡状态，作受力图时，在有摩擦力的接触 面除了要画出法向反力FN之外，还要画出最大静滑动摩擦 力Fmax，力Fmax的指向与物体的运动趋势相反2)列出平衡方程之后，还要写补充方程Fmax ＝fs·FN 有几个不光滑的接触面，就要写几个补充方程3)由于考虑摩擦的平衡问题的解是有范围的，求解后要 分析解的范围，将问题的解用不等式表示作业：4-1，4-2，4-3（a），4-5，4-6（ a），4-7，4-10，4-12，4-15，4-17，4- 19，4-23。
