可测集及其测度.doc

3.3 可测集及其测度前面我们介绍了外测度的概念，也讨论了它的一些简单性质，但是外测度还不是“长度”的推广，这一节我们介绍测度的概念一 可测集及其测度概念定义 1 设 , 若对任何点集 , 均有nREnRT(1)cEmm则称 为 Lebesgue 可测集, 简称为可测集, 或称 可测 . 称可测集 的外测度为 的ELebesgue 测度, 简称为测度, 记为 .可测集的全体称为可测集族, 记为 .M条件(1)称为 Caratheodory 条件.注 11. 由于 ，所以 的可测性就表现为： 可把任意的集合 分cETTUET解为其外测度满足可加性的两部分： 和 (这二者之间的距离未必大于Tc零). 同时, 由外测度的次可加性 , 要证明集合 可测, 则只需证明. (2)cmm2. 按定义, 测度是定义在可测集族 的非负广义实函数, 具有单调性、次（可数）可加M性等性质例 1. 由定义知道 空集 和 都是可测的.nR例 2. 外测度为零的集合 是可测的, 这是因为 , 所以由单调性和次可加性得E0EmTTmTcc 自然的有如下的结论: 可列集是可测的 , 至多可列个可数集的并也是可测的, 至多可列个外测度为零的集合的并是可测的.称测度为零的集合为零测集, 当然, 零测集的子集也是零测集.定理 1 可测当且仅当对 , 有EcEBA. (3)mmU证明 一方面取 , 由假设条件得到T;BmAEBAEBAc IUI另一方面, 对任意的 , 有 , , 所以由(3)自然得到 的可测性.cTE定理 2 可测当且仅当 可测.Ec定理 3 若 均可测, 则 也可测, 且当 时, 对于任何的集合 总有21E21EU21EI T(4)TmTmII  特别的取 , 则有21. (5)2121EEU证明 首先, 对任意集合 , 成立nRTcccc ETETEET 21212121 22121 \\ IUIII III所以由 的可测性和外测度的次可加性得到2,TmETmTmTmc ccc   11 21212211II IIIUUI从而 , 也即 可测.cE2121II 21EU其次, 因为 , 所以对任意集合 , 有 由21 nRT,,12cTII的可测性和定理 1 得到1E.21212 EmEmETm IIIUIUI  推论 1. 若 都可测, 则 也可测, 且当 两两不交时, 对于任n,21Lni1 n,21L何的集合 总有Tniini ETmETm11II.niini11U定理 4. 若 都可测, 则 也可测.nE,21LIniE1证明 因为 , 所以由定理 2 和推论 1 就得到结果.cniicini I111定理 5 若 均可测, 则 也可测, 并且当 时, 21E21\E21,mE.m证明 因 , 所以由定理 2, 4 得到 是可测的. c2121\I21\而 , 所以 , 且 , 由定理 3 就得到E21\EU2EI, 又 , 所以可以移项.21\mm定理 6 若 是一列两两不交的可测集, 则 也可测, 且对于任何的集合 总有i 1i T,11iii ETmETII.11iiiU证明 (1) 证对任何的集合 总有 .T  cii ETmETmUII 11由推论 1, 对任何 , 可测, 所以由集合的两两不交性和推论 1 得到niE1 cinii cninii cnini ETmEETETUIIIIII11 11 11令 , 并利用外测度的次可加性得到n   cii ciii ciii ETmETmTUIIIIII1111 11这就得到 是可测的.U1iE(2) 而由外测度的单调性和推论 1 知道   niinii ETmETmETm111 IIIU令 , 就有 , 而反向的不等式是显然的, 故有n11iii II 11iii ETmETmII在上面的等式中取 , 并注意到这时外测度就是测度就得到结论.U1i定理 7 若 是一列可测集, 则 也可测.iE1iE证明 因为 可以表示为不交的集合的并1iLULUU 12121211 \\\ nii EEE由定理 3,5,7 及其推论即得证.用对偶定理和前面的定理容易得到定理 8 若 是一列可测集, 则 也可测.iEI1iE这几个定理实际上说明了这样一个结果: 可测集族 是一个 代数, 且保持可列可加性M(在不交并时).定理 9 若 是一列单增可测集, 则 .iEni mEmli1U证明 因为 ( ), 且右端是两两不交的可测集的并 , 所以111\iii E0nniin niiiiiii mEEml\l \l\\11111定理 10. 若 是一列单减可测集, 且 , 则 .iEni li1I证明 因为 是一列单减集且 , 所以对任意的 , 有 . 此时集列iE1mEnnmE是单增的可测列, 对它用定理 9, 就有 , 左i\1 U11\\li iin端等于 , 右端 , 这就得到结果.nmlII1\ ii注 定理 10 中的有界性不可去掉, 如则 , ),(iEiE01Iim一些简单的结论:命题 1 设 为可测集, 为定义在 上的实函数, 则以下几条等价)(xfE1. , 可测1Ra][aE2. , 可测f3. , 可测1][4. , 可测RaafE命题 2. 设 是一列可测集, 若 , 则 .i 1iimE0liE命题 3. Cantor 集的测度为零。