一类广义对称(反对称)矩阵分析.doc

《教育学》期刊 2012 年 4 月刊推荐稿件一类广义对称（反对称）矩阵分析戴洁洁【摘 要】本文先给出了广义对称（反对称）矩阵的概念，并由概念得到了广义(反对称)矩阵的一般表达形式之后对广义对称（反对称）矩阵的性质展开了具体的讨论最后在研究了它们性质的基础上，推导出与它们相关的性质定理关键词】广义对称矩阵，广义反对称矩阵，实矩阵 A用记号 R表示实数域 ， C表示复数域，n表示 上所有矩阵的集合, 1n表示 上所有 n1 矩阵的集合， 'A表示 的转置， A表示 的共轭.记 E =OI，则 1E= =OI=.广义对称（反对称）矩阵的定义定义 1 设 A 2nR，若 ()A= ， （()E= ） ，则称 为广义对称（反对称）矩阵.定义 2 记由 确定的广义对称矩阵的全体为 E，则 E={ A| =BCD, , , nR}；记由 确定的广义反对称矩阵的全体为 ,则={ | =OB, n}.2 广义对称（反对称）矩阵的性质定理2.1　广义反对称矩阵的性质命题 1 若 2n 阶实矩阵 AE且可逆，则 AE.证明：由于（ 1）=1()=11(()1111()()EAEA由定义 .命题 2 若 2n 阶实矩阵 ，则 *.证明*1(det)A： 由 于，所以 11*()t(t)(det)EAEAE由定义 *.2.2　广义对称（反对称）矩阵共有的性质命题 3 若 2n 阶实矩阵 AE（ ） ，则（ E）.证明： 若 ， 有AA（ ） ，则  . E同 理 若 ，命题 4 若 2n 阶实矩阵 A（ E） ，有(1) ()k； (2) .证明：(1)由于 ()()EAk，由定义 k； 同理得到 AE.《教育学》期刊 2012 年 4 月刊推荐稿件(2)对 AE（ ） ，有 ()()A，则.命题 5 若 2n 阶实矩阵 ,()BE，则(1) ()A；(2) ()EBAEBA的 充 分 必 要 条 件 是 （ ）.证明：（1）由于 ()()()AE（ ） （ ）;所以.(2)必要性：因 B， 故EAEABEA （ ） ， 又 （ ） =（ ） （ ） ，所 以.充分性：因 B， 故（ ） （ ） （ ）,所以 AE.命题 6 若 2n 阶实在矩阵 ABE、 （ ），则（1） B；（2） A.证明：（1）由定义可知有如下结论： EEABB （ （ ） ） （ ） （ ）（ ）A （ （ ） ） （ ） （ ）（ ）所以 E， BAE.2.3　关于广义对称（反对称）矩阵的性质命题 7 对 2n 阶实矩阵 A，若 E，则AE ， 若 ， 则.证明： 若 ， 有 AE（ ） ，即 ； 同 理 若 ， 则 。

命题 8 对 2n 阶实矩阵 A，若 E，则；若 E，则 .命题 9 对 2n 阶实矩阵 ，若 . ， 则 ， 若 ， 则命题 10 对任意 2n 阶实矩阵 A，有.E、 、 ，证明： ()AE（ ） （ ）,AAE（ ） （ ） （ ）,E（ ） （ ） （ ）,AE（ ） （ ） （ ）.由定义可知结论成立.命题 11 对任意 2n 阶实矩阵 A，若 .EE， 则 ； 若 ， 则命题 12 对 2n 阶实矩阵1,有 ， ，.命题 13 若 AAO， 且 ， 则.证明：若 E， 且 ， 则（ ） ， （ ） ，那么 E（ ） （ ） （ ） ，2.AOAO即 ， 因 可 逆 ， 则《教育学》期刊 2012 年 4 月刊推荐稿件2.4　关于广义对称（反对称）矩阵的定理定理 1 数域 P上全体关于 E的广义对称（反对称）矩阵的数乘和加法运算构成一个线性空间.证明：首先 （ ）非空，其次对于 （E）中任意两个元素 AB、 ，由命题 4、命题 5 知 ()AB，则定理成立.定理 2 设 是 2n 维欧氏空间 V的一个对称变换，1, na是 的任意一个规范正交基，若EA是 关于这个基的矩阵，那么 AE.定理 3 21,nOXCO有.证明：令 1212212, ,(,)nnnnXYXYX  （ ,） (,),，那么 1122122()()YOIXEYYO.所以结论成立。

【参考文献】[1] 姜家辉. 矩阵理论基础[M]. 大连理工大学出版社.[2] 张纯根，万小红. 可对称化矩阵[J]. 铁道师范学报，2000， （4）：8-10.[3] 马龙，刘晓翼，张纯根. 广义对称矩阵及广义正交矩阵[J]. 铁道师范学报，2000， （ 3）：19-22.[4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.343-348.[5] 刘淑俊. 实对称矩阵与规范正交基的本质关系研究[J]. 河北北方学院学报（自然科学版） ，2006， （4）. 。