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平行线的性质平行线的性质【【义务教育教科书北师版八年级上册义务教育教科书北师版八年级上册】】情境引入情境引入平行线的判定方法是什么？平行线的判定方法是什么？1、同位角相等，两直线平行、同位角相等，两直线平行.2、内错角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行.3、同旁内角互补，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行. 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？同旁内角各有什么关系呢？情境引入情境引入如图，直线如图，直线a与直线与直线b平行，被直线平行，被直线c所截所截..测量这些角的度数，测量这些角的度数，把结果填入下表内把结果填入下表内.角角 ∠∠1 ∠∠2∠∠3∠∠4∠∠5∠∠6∠∠7∠∠8度数度数45°135° 135°45°45°135° 135°45°情境引入情境引入（（1）同位角）同位角∠∠1 和和∠∠5 的大小，它的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？角吗？它们的大小有什么关系？角角 ∠∠1 ∠∠2∠∠3∠∠4∠∠5∠∠6∠∠7∠∠8度数度数45°135° 135°45°45°135° 135°45°相等相等a//b ∠∠1= ∠∠5，， ∠∠2= ∠∠6，， ∠∠3= ∠∠7，， ∠∠4= ∠∠8 由此猜想：两直线平行，同位角相等由此猜想：两直线平行，同位角相等情境引入情境引入（（2）图中有几对内错角？它们的大）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？小有什么关系？ 为什么？为什么？ 角角 ∠∠1 ∠∠2∠∠3∠∠4∠∠5∠∠6∠∠7∠∠8度数度数45°135° 135°45°45°135° 135°45°2对对a//b ∠∠4= ∠∠5，， ∠∠3= ∠∠6 由此猜想：两直线平行，内错角相等由此猜想：两直线平行，内错角相等情境引入情境引入（（3）图中有几对同旁内角？它们）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ 角角 ∠∠1 ∠∠2∠∠3∠∠4∠∠5∠∠6∠∠7∠∠8度数度数45°135° 135°45°45°135° 135°45°2对对a//b ∠∠4+∠∠6=180°，， ∠∠3+∠∠5 =180° 由此猜想：两直线平行，同旁内角互补由此猜想：两直线平行，同旁内角互补情境引入情境引入定理定理1:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：简称：两直线平行两直线平行, 同位角相等同位角相等.定理定理2:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：简称：两直线平行两直线平行, 内错角相等内错角相等.定理定理3:两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补补. 简称：简称：两直线平行两直线平行, 同旁内角互补同旁内角互补.你能证明它们吗？你能证明它们吗？探究探究1 证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称：两直线平行简称：两直线平行, 同位角相等同位角相等.已知：直线已知：直线AB∥∥CD，，∠∠1和和∠∠2是直线是直线AB，，CD被被直线直线EF截出的同位角截出的同位角.求证：求证： ∠∠1=∠∠2.21BACDEFMN探究探究1 证明：假设证明：假设∠∠1≠∠∠2，那么我们可以过点，那么我们可以过点M作直线作直线GH，使，使∠∠EMH= ∠∠2，如图所示，如图所示根据根据“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”，，可知可知GH∥∥CD. 又因为又因为AB∥∥CD，这样，这样经过点经过点M存在两条直线存在两条直线AB和和GH都与直线都与直线CD平行平行.这与基本事实这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行条直线平行”相矛盾相矛盾.这说明这说明∠∠1≠∠∠2的假设不成立，所以的假设不成立，所以∠∠1=∠∠2.21BACDEFMNGH学以致用学以致用 ×1.判断判断（（1）凡是同位角都相等（）凡是同位角都相等（ ））（（2）两条直）两条直线被第三条直被第三条直线所截，同位角相等（所截，同位角相等（ ））×解:∵EG⊥AB,∠E=30°, ∴∠AKF=∠EKG=60°=∠CHF, ∴AB∥CD2.如图所示如图所示,已知直线已知直线EF和和AB,CD分别相交于分别相交于K,H,且且EG⊥⊥AB,∠∠CHF=60°,∠∠E=30°,试说明试说明AB∥∥CD解解∵∠∵∠ADE=∠∠B=60o（已知）（已知）∴∴DE∥∥BC（同位角相等，两直（同位角相等，两直线平行）平行）3. 如如图，已知，已知D是是AB上一点，上一点，E 是是 AC 上一点，上一点，∠∠ADE =60o，，∠∠B =60o，，DE 和和BC 平行平行吗？？为什么？什么？EDCBA学以致用学以致用 探究探究2 证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行简称：两直线平行, 内错角内错角相等相等.已知：直线已知：直线l1∥∥l2，，∠∠1和和∠∠2是直线是直线l1，，l2 被直线被直线 l 截出的内错角截出的内错角.求证：求证：∠∠1=∠∠2.123l1ll2探究探究2 证明：证明：∵∵ l1∥∥l2(已知已知)，， ∴∠∴∠1＝＝∠∠3(两条直线平行，同位角相等两条直线平行，同位角相等) ∵∠∵∠2＝＝∠∠3(对顶角相等对顶角相等)，， ∴∠∴∠1=∠∠2(等量代换等量代换) 123l1ll21．如图，已知．如图，已知AB//CD，，AD//BC．填空：．填空：　　　　 （（1））∵∵ AB//CD （已知），（已知），　　　　　　　　∴∴ ∠∠1＝＝ ∠∠＿＿ （（ 　　 　　　　 ）；）；　　 （（2）） ∵∵ AD//BC （已知）（已知） ∴∴ ∠∠2＝＝ ∠∠＿＿ （　　　（　　　 　　　　　　 　　 ）．）．两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等．两直线平行，内错角相等．DACB12ADCB学以致用学以致用 2、如图，、如图，∠∠1=∠∠2，，∠∠C=∠∠D，那么，那么∠∠A与与∠∠F相等相等吗？说明你判断的理由．吗？说明你判断的理由．解：解：∠∠A=∠FA=∠F，理由如下：，理由如下：∵∠∵∠1=∠21=∠2，，∠∠2=∠32=∠3，，∴∠∴∠1=∠31=∠3，，∴∴BD∥CEBD∥CE．．∴∠∴∠ABD=∠CABD=∠C．．又又∠∠C=∠DC=∠D，，∴∠∴∠D=∠ABDD=∠ABD，，∴∴DF∥ACDF∥AC，，∴∠∴∠A=∠FA=∠F．．学以致用学以致用 探究探究3 证明：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补证明：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称：两直线平行简称：两直线平行, 同旁内角互补同旁内角互补.已知：直线已知：直线a∥∥b，，∠∠1和和∠∠2是直线是直线a，，b被直线被直线c截出截出的同旁内角的同旁内角.求证：求证： ∠∠1+∠∠2=180°12bc3a探究探究3 证明：证明：∵∵a∥∥b (已知已知) ∴∠∴∠2＝＝∠∠3 (两条直线平行，同位角相等两条直线平行，同位角相等) ∵∠∵∠1+∠∠3 =180° (平角的定义平角的定义) ∴∠∴∠1+∠∠2=180 ° (等量代换等量代换) 12bc3aADCB1. 如如图所示，已知四所示，已知四边形形ABCD 中，中， AB∥∥CD，， AD∥∥BC，，试问∠∠A与与∠∠C，，∠∠B与与∠∠D 的大小关系如的大小关系如何？何？学以致用学以致用 解：解：∠∠A= ∠∠ C, ∠∠B=∠∠D理由：理由：∵∵AB∥∥CD （已知（已知 ）） ∴∠∴∠B+∠∠C=180°（两直（两直线平行，同旁内角互平行，同旁内角互补 ））又又 ∵∵ AD∥∥BC（已知）（已知）∴∠∴∠C+∠∠D=180°（（ 两直两直线平行，同旁内角互平行，同旁内角互补 ））∴∠∴∠ B=∠∠D（（ 同角的同角的补角相等角相等 ））同理同理∠∠A=∠∠C ADCB学以致用学以致用 2.如如图，已知，已知AC平分平分∠∠DAB，，∠∠1=∠∠2，，∠∠D=126°，求，求∠∠DAB的度数．的度数．学以致用学以致用 解：解：∵∵AC平分平分∠∠DAB，，∴∠∴∠1=∠∠BAC，，∵∠∵∠1=∠∠2，，∴∠∴∠2=∠∠BAC，，∴∴DC∥∥AB，，∴∠∴∠D+∠∠DAB=180°，，∵∠∵∠D=126°，，∴∠∴∠DAB=54°探究探究4 已知：如图，已知：如图， b∥∥a，，c∥∥a，， ∠∠1，， ∠∠2，， ∠∠3是是直线直线a，，b，，c被直线被直线d所截出的同位角所截出的同位角.求证：求证：b∥∥cabcd123证明：明：∵∵b∥∥c （已知（已知 ）） ∴∠∴∠2=∠∠1（两直（两直线平行，同位角相等平行，同位角相等 ））∵∵ c∥∥a（已知）（已知）∴∠∴∠3=∠∠1（（ 两直两直线平行，同位角相等平行，同位角相等 ））∴∠∴∠ 2=∠∠3（等量代（等量代换））∴∴ b∥∥c （同位角相等，两直（同位角相等，两直线平行平行 ））探究探究4 abcd123定理：平行于同一条直定理：平行于同一条直线的两条直的两条直线平行平行. 归纳归纳 ∵∵b∥∥a，，c∥∥a，，∴∴b∥∥cabcd1、如、如图，小亮的手中有一，小亮的手中有一张正方形正方形纸片片ABCD（（AD∥∥BC），点），点E，，F分分别在在AB个个CD上，且上，且EF∥∥AD，，此此时小亮判断出小亮判断出EF∥∥BC，，则张萌判断出萌判断出该结论的理由的理由解：如果两条直解：如果两条直线都和第三条直都和第三条直线平平行，那么行，那么这两条直两条直线也平行．也平行．学以致用学以致用 2、已知：如、已知：如图，，AB∥∥CD，，∠∠B=∠∠D，求，求证：：BE∥∥DF．．证明：明：∵∵AB∥∥CD，，∴∠∴∠B=∠∠COE，，∵∠∵∠B=∠∠D，，∴∠∴∠COE=∠∠D，，∴∴BE∥∥DF．．学以致用学以致用 小结小结通过本节课的内容，你有哪些收获？通过本节课的内容，你有哪些收获？  1、平行线的性质、平行线的性质2、证明的一般步骤、证明的一般步骤（（1）根据题意，画出图形．）根据题意，画出图形．（（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．证明过程．拓展延伸拓展延伸 1．．已知：如图，已知：如图，∠∠ABC=∠∠ADC，，BF平分平分∠∠ABC，，DE平分平分∠∠ADC，且，且DE∥∥BF．．（（1）求证：）求证：AB∥∥DC；；（（2））AD与与BC是否平行？若平行，给出证明；若不平是否平行？若平行，给出证明；若不平行，说明理由．行，说明理由．拓展延伸拓展延伸 （（1）证明：）证明：∵∵BF平分平分∠∠ABC，，DE平分平分∠∠ADC，，∴∠∴∠2=1/2 ∠∠ABC，，∠∠CDE= 1/2 ∠∠ADC，，而而∠∠ABC=∠∠ADC，，∴∠∴∠2=∠∠CDE，，∵∵DE∥∥BF，，∴∠∴∠1=∠∠2，，∴∠∴∠1=∠∠2=∠∠CDE，，∴∴AB∥∥CD；；（（2）解：）解：AD∥∥BC．理由如下：．理由如下：∵∵AB∥∥CD，，∴∠∴∠ADC+∠∠A=180°，，∠∠ABC=∠∠ADC∴∠∴∠ABC+∠∠A=180°，，∴∴AD∥∥BC．．达标测评达标测评1．如．如图，，AB，，CD 被被EF 所截，所截，AB//CD .　　按要求填空：按要求填空：若若∠∠1＝＝120°，，则∠∠2＝＝___°（（ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ）；）；∠∠3＝＿＿＿－＝＿＿＿－ ∠∠＿＿＿＿°（（ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ））120180°60两直两直线平行，内平行，内错角相等角相等两直两直线平行，同旁内角互平行，同旁内角互补．．123ABEFCD达标测评达标测评2．．如图，是有梯形上底的一部分，已经量得如图，是有梯形上底的一部分，已经量得∠∠A=115o，，∠∠D=100o，梯形另外两个角各是多少度？，梯形另外两个角各是多少度？DCBA达标测评达标测评解：解：∵∵AD∥∥BC（梯形定（梯形定义））∴∠∴∠A+∠∠B=180o∠∠C=180o－－100o=80o∴∴梯形的另外两个角分梯形的另外两个角分别是是65o和和80o.（两直（两直线平行，同旁内角互平行，同旁内角互补））（等式性（等式性质1））于是于是∠∠B=180o－－115o=65o∠∠D+∠∠C=180o（两直（两直线平行，同旁内角互平行，同旁内角互补））（等式性（等式性质1））3．．如图，一束平行光线如图，一束平行光线AB 与与DE 射向一个水平镜面后射向一个水平镜面后被反射，此时被反射，此时∠∠1 =∠∠2，，∠∠3 =∠∠4．．（（1））∠∠1与与∠∠3的大小有什么关系？的大小有什么关系？∠∠2与与∠∠4呢？呢？（（2）反射光线）反射光线BC与与EF也平行吗？也平行吗？达标测评达标测评解：（解：（1））∵∵AB∥∥DE（已知），（已知），∴∴ ∠∠1 = ∠∠3（两直线平行，同位角相等）；（两直线平行，同位角相等）；∵∠∵∠1 = ∠∠2，， ∠∠3 = ∠∠4 （已知），（已知），∴∠∴∠2 = ∠∠4 （等量代换）（等量代换）.（（2））∵∠∵∠2 = ∠∠4（已证），（已证），∴∴BC∥∥EF（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）.达标测评达标测评布置作业布置作业 教材教材177页习题第页习题第1，，2题题。