第2章状态空间表达式的解.ppt

控制系统的分析分为控制系统的分析分为定量分析定量分析和和定性分析定性分析两个方面：两个方面： 概述概述对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究要意义的几个关键的性质进行定性研究 定量分析定量分析定量的确定控制系统定量的确定控制系统由外部输入作用所引由外部输入作用所引起的响应起的响应 对控制系统的规律进对控制系统的规律进行精确的研究行精确的研究定性分析定性分析能控性、能观测性和稳定性能控性、能观测性和稳定性2021/8/141 •第第2 2章章 状态空间表达式的解状态空间表达式的解Ø本章结构本章结构ü2.1 线性时不变系统的齐次解线性时不变系统的齐次解ü2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数---状态转移矩阵状态转移矩阵ü2.3线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解2021/8/142复习：复习：ZIR（零输入响应）与（零输入响应）与ZSR（零状态响应）的求解方法（零状态响应）的求解方法•经典法经典法一阶系统一阶系统现在要求它的现在要求它的ZIR即即 的解。

的解其特征方程为：其特征方程为：2021/8/143特征根特征根若零输入响应的初始值若零输入响应的初始值 已知，则已知，则ZIR应该为应该为2021/8/144•一阶系统的零状态响应一阶系统的零状态响应对于一阶系统方程对于一阶系统方程 x(t)：强迫函数（与输入信号有关）：强迫函数（与输入信号有关）特征方程的根：特征方程的根：则零状态响应：则零状态响应： 2021/8/145 所谓系统的所谓系统的自由解自由解，是指系统输入为零时，由，是指系统输入为零时，由初始状态引起的初始状态引起的自由运动自由运动此时，状态方程为齐次微分方程：此时，状态方程为齐次微分方程：若初始时刻若初始时刻 时的状态给定为时的状态给定为 则式则式(1)有唯一确定解：有唯一确定解：(2)(2)若初始时刻从若初始时刻从 开始，即开始，即 则其解为：则其解为： 证明证明 和标量微分方程求解类似，先假设式和标量微分方程求解类似，先假设式(1)(1)的解的解 为为 的矢量的矢量2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解）线性时不变系统的齐次解（自由解）2021/8/146幂级数形式，即幂级数形式，即(4)(4)代入式代入式 得得：：(5)(5) 既然式既然式(4)(4)是式是式(1)(1)的解，则式的解，则式(5)(5)对任意时刻对任意时刻 都成立，故都成立，故 的同次幂项的系数应相等，有：的同次幂项的系数应相等，有：2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解）线性时不变系统的齐次解（自由解）2021/8/147在式在式(4)(4)中，令中，令 ，可得：，可得：将以上结果代入式将以上结果代入式(4)(4)，故得方程的解：，故得方程的解：(6)(6)2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解）线性时不变系统的齐次解（自由解）矩阵指数矩阵指数2021/8/148 等式右边括号内的展开式是等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵，它是一个矩阵指数函数矩阵指数函数，，记为记为 ，，即即(7)(7)于是方程的解即式于是方程的解即式(6)(6)可表示为：可表示为：2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解）线性时不变系统的齐次解（自由解）状态转移矩阵状态转移矩阵若初始条件为若初始条件为x（（t0））=x0，则：，则：2021/8/1492.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2.2.1 状态转移矩阵状态转移矩阵齐次微分方程齐次微分方程(1)(1)的自由解为：的自由解为：或或 状态转移矩阵状态转移矩阵，记为：，记为：2021/8/14102.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2 2．性质二．性质二2.2.2 2.2.2 状态转移矩阵状态转移矩阵( (矩阵指数函数矩阵指数函数) )的基本性质的基本性质或或这个性质说明，这个性质说明， 矩阵与矩阵与A A矩阵是可以交换的。

矩阵是可以交换的2021/8/14112.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵3 3．性质三．性质三组合性质，它意味着从组合性质，它意味着从 转移到转移到0 0，再从，再从0 0转移到转移到 的组合或或2.2.2 2.2.2 状态转移矩阵状态转移矩阵( (矩阵指数函数矩阵指数函数) )的基本性质的基本性质即即2021/8/14124.4.性质四性质四或或5.5.性质五性质五或或2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2.2.2 2.2.2 状态转移矩阵状态转移矩阵( (矩阵指数函数矩阵指数函数) )的基本性质的基本性质6.6.性质六性质六2021/8/14137.7.性质性质7 7 对于对于 方阵方阵A A和和B B，当且仅当，当且仅当AB=BAAB=BA时，有时，有 而当而当AB≠BAAB≠BA是，则是，则 这个性质说明，除非矩阵这个性质说明，除非矩阵A A与与B B是可交换的，它们各自的矩阵是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。

这与标量指数函数指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价这与标量指数函数的性质是不同的的性质是不同的2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2.2.2 2.2.2 状态转移矩阵状态转移矩阵( (矩阵指数函数矩阵指数函数) )的基本性质的基本性质2021/8/14141.1.根据根据 的定义直接计算的定义直接计算2.2.3 2.2.3 的计算的计算2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵例例2-12-1：已知　　　　：已知　　　　 求求解：解：2021/8/14152.2.利用拉氏反变换法求利用拉氏反变换法求证明证明 齐次微分方程齐次微分方程两边取拉氏变换两边取拉氏变换即即故故2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：2021/8/1416例例2-22-2：已知　　　　　　　　：已知　　　　　　　　 求求解：解：2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2.2.利用拉氏反变换法求利用拉氏反变换法求2021/8/1417 2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2021/8/1418例例2-32-3已知状态转移矩阵已知状态转移矩阵试求试求解：根据性质解：根据性质5 5，有，有2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2021/8/1419而根据性质而根据性质2有：有：2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数————状态转移矩阵状态转移矩阵2021/8/1420 现在讨论线性定常系统在控制作用现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的作用下的强制运动。

此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：强制运动此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻当初始时刻 初始状态初始状态 时，其解为：时，其解为：式中，式中， 1 1））当初始时刻为当初始时刻为 初始状态为初始状态为 时，其解为：时，其解为：2.3 线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解式中，式中， 3 3））2021/8/1421对式（对式（1）进行拉氏变换，有：）进行拉氏变换，有：即即证明：证明：2.3 线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解上式左乘上式左乘 ，得：，得：（（4 4））2021/8/1422两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（以此代入式（4 4），并取拉氏反变换，即得），并取拉氏反变换，即得 ：：2.3 线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解2021/8/1423例例2-4:2-4:求下列系统状态的时间响应：求下列系统状态的时间响应： 式中，式中，u(t)为为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。

[解解] 对该系统对该系统状态转移矩阵状态转移矩阵 已在前例中求得，即已在前例中求得，即 2.3 线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解2021/8/1424因此，系统对单位阶跃输入的响应为：因此，系统对单位阶跃输入的响应为：如果初始状态为零，即如果初始状态为零，即X(0)=0,可将可将X(t)简化为简化为 2.3 线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解2021/8/1425 在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下， 则系统的解式（则系统的解式（2 2）可以简化为以下公式：）可以简化为以下公式：1.1.脉冲响应脉冲响应即当即当 时时2.2.阶跃响应阶跃响应即当即当 时时3.3.斜坡响应斜坡响应即当即当 时时（（5 5））（（6 6））2.3 线性时不变系统的非齐次解线性时不变系统的非齐次解2021/8/1426个人观点供参考，欢迎讨论个人观点供参考，欢迎讨论部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！。