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学习理论与数理哲学在数学教学改革上的应用 陈瑞明【摘要】数学的教导与学习一直是教育改革中重要的课题.一个同时考虑数学本质和学习过程内涵所设计的数学教学才能有效、准确地将数学知识传递下去，两者关系可以由教育心理学与数理哲学来切入探讨.本文通过将教育心理学上主要的学习理论：行为主义﹑社会学习理论﹑认知学习理论﹑建构学习理论和数理哲学的理论派别：形式主义﹑逻辑主义﹑直觉主义﹑实证主义做比对发现，可将相容部分的理论结合起来，用于说明如何针对不同的数学科目进行相对应的教学改革内容——主要还是根据不同数学科目本身的特殊性，对如何设计个别数学科目教学课程进行分析，以总结出结合学习理论及数学哲学的教学及学习方式.由探讨的结果可以发现，形式主义和注重心理结构认知学习理论、逻辑主义和注重行为主义的认知学习理论、直觉主义和建构学习主义理论，及实证论主义和纳入环境要素的社会学习理论有较高的相容性.若能更进一步探讨如何将这些理论落实到教学上，使得这些相对应的理论能应用到每一个数学科目，则在设计数学教材或数学讲述上，能有效进行数学知识的传递工作.【关键词】学习理论;数学哲学;直觉主义;数学实在论;建构学习主义一、学习理论与数学发展关联性概述（一）学习理论背景知识介绍学习理论经历了不同阶段，从早期的约翰华生、弗雷德里克斯金纳的强调S-R（刺激与反应）行为主义学习理论，到纳入环境要素阿尔伯特班杜拉的社会学习理论，到引入心理结构的认知学习理论，再到皮亚杰由个人已知或已有的学习经验出发的建构学习主义理论，这些学习理论的实质内容及具体的主张可以参考叶浩生的《西方心理学的历史与体系》一书，尤其书中对于（新）行为主义、结构主义及人本主义等理论基础和哲学思想的来源都有详细的说明.至于实际上要如何利用这些学习理论进行教学，教师可以参考陈琦的《教育心理学》一书中的详细介绍说明，这里笔者仅引述陈琦对于学习理论综合性的看法作为本文的引言，学习理论主要回答以下三方面的问题：（1）学习的实质是什么？（2）学习是一个什么样的过程？（3）学习有哪些规律和条件？本文的架构大体上也是从这些问题出发，探讨这些学习理论和数学哲学思想间的关联性及可应用性.以下笔者只针对和本文有关联的学习理论部分进行概要性分析、探讨与说明.（二）行为理论与数学发展关联性介绍行为主义和社会学习理论的主要差别在于，社会学习理论是社会变量（环境），探讨个人认知、个人行为和环境三者间的互动关系，因此，除了行为主义的联结及强化机制外，尚需考虑和观察社会环境，进行复制或强化动作，这个基本上已经开始对应到数学学科，因为数学是为其他学科服务的学科，同时数学学科也可以用来描述数学家建构数学的过程.（社会）环境提供一个动态的因素，它是数学家重要素材的来源，即使多位数学家包含戈特弗里德威廉莱布尼茨，称数学的经验是先天的，實际上大部分的数学发展还是环境发展需要下的产物，例如利用数学知识可以有效地控制一个国家或一个地区的经济活动或掌握人口分布结构等等.有效利用数学工具便可管控总体经济，例如货币发行量的多寡及周期，公务人员的薪资额度，加薪或退休金的计算，各式税率的制定与征收等等，数学都是不可或缺的分析工具，这些需求当然就间接促进了数学的发展，尤其是统计学的统计方法的创建.相反地，个人行为也会对社会环境造成影响——学习的过程不再是单纯、被动地等待刺激，而且刺激的来源也不再是自然或物理反应，人们必须主动地观察学习所处的环境状况.当然，数学影响世界的发展更是明显，世界不但提供一个数学创作素材的来源，相反地，数学的研究也丰富了世界的发展——尤其像目前世界各国正努力发展的人工智能，背后便需要大量的数学工具和理论模型等来支持.（三）建构学习主义与数学发展关联性介绍建构学习主义与行为主义的最大不同点在于对客观事物与个人知识形成的不同看法.对行为主义者而言，客观的事物是具体存在于人的意识之外的，客观事物对人的意识会产生刺激，这种刺激进而形成人的知识.在这个过程中，知识的形成是被动的，是由刺激引起的.以数学的认知来看，人类从儿时便对简单的自然数有反应，这部分是直觉的认知过程，我们可以看成自然数是依附在客观存在的事物上，透过人类的视觉受到这些事物的刺激，使人类在意识上便产生了自然数这个知识.由此我们也可以知道，数学知识的形成并不是单纯靠智慧发展出来的，有一部分确实是行为下经由外在事物刺激自然产成的.反观，对于建构学习主义者而言，知识的形成是以学习者本身的背景知识为底，通过学习者对事物的积极认知过程所形成.由于每个人的背景知识不相同，所形成的知识也就不同.实际上，建构学习主义比较逼近真实的学习过程，理由有以下几个：1.学习者是人，不是动物，行为主义操作下的机械性生理反应并不足以解释或适用人的学习经验，即使是以人当研究客体，也不见得适用大部分的人;2.学习者本身的既有知识确实会决定他是否能对新的事物形成新的经验，而不是单纯的强化过程，当事物本质有了新的改变，个人知识经验也应该跟着变动，人相对于其他动物而言，可变性确实高了一些;3.学习者本身的学习态度及方式等也决定了他学习的有效性，而非单纯是被动接受刺激就会有正确的反应，还是要视个人的心理状态及结构而定.以数学知识的形成来看，笔者个人认为早期的数学概念主要是受行为主义的学习认知过程影响，这种影响应该追溯到孩童时代，他们对于外在的世界会产生一个认知，读者可以参考一下布兰思福特在《人是如何学习的——大脑，心理，经验及学校》一书中提到的关于小孩如何对数字进行认知、探索的过程的描述（布兰思福特，2002，P.98-100）.人一旦形成知识，并开始学会使用符号来表述这些概念，这些概念就成为个人的一个数学经验，例如李彩红在《基于三种学习理论整合的数学概念教学设计》一文中对于“函数”这个概念的数学经验是如何形成的所做的探讨（李彩红，2014，P.19-23）.一旦这个数学经验形成，人们就可以去建构新的数学经验和知识.到了后期，比较是建构主义式的学习方式.因此以数学认知的过程来看，学习理论代表的是数学不同阶段的学习方式，而不是说哪一个理论比较好，毕竟没有种子哪来的果实.以下笔者开始针对不同的数学哲学观点，结合相容的学习理论，根据本人的数学专业知识、教育学习过程及教学经验，来探讨不同的数学科目适用的学习及教学方式.除此之外，我们还必须注意教学化过程的有效性，也就是研究如何利用这些学习理论去有效转化成学习成果，正如克拉耶夫斯基在《教学过程的理论基础》一书中所言：“从社会经验到个人经验，经历各种不同层次的活动——这就是教学的行程.”（克拉耶夫斯基，1996，P.10）二、数学实在论与客观事物存在论（一）数学实在论观点数理哲学理论是以唯物主义的物质为第一性、精神为第二性为基础而发展的数学实在论.这个数学思想是把数学知识与心智活动分开来看，数学知识是已经存在的且独立于人的思想活动，数学家并不是创造数学，而是发现已经存在的数学知识.这个时期的学派以柏拉图主义为代表，这个学派的精神如斯图尔特夏皮罗在《数学哲学：对数学的思考》一书中所言：“在本体论实在论者中，最普通的观点就是数学对象是非因果的、永恒的、不能解構的，并且不是时空的一部分”.（夏皮罗，2009，P.25）简单地说，数学本身具有绝对性的存在，不因人类思考变动而迁移.这个学派已经发展几千年，极致的发展分支学派是完全柏拉图主义，本学派主要采用的数学逻辑是排中律和选择公理.排中律实际上是二元论下的产物，也就是非黑即白.这个逻辑主导了哲学和数学的发展几千年了，大家也都认为这是万物运行的准则，实际上这些概念是可以被挑战的，后面笔者会提到其他不同学派的观点，这些学派比较靠近唯心主义的主张，也可称为反数学实在论学派.（二）古典数学与数学实在论的关联性对于学习理论而言，客观事物的存在性根据不同的学习理论而有所不同.对于古典的行为主义者而言，客观事物是具体独立存在的，因此我们只能由被动地接受刺激来学习.这种观点和数学实在论具有高度相容性，实在论强调的是数学的整体早已构建完成，我们只不过是被动的学习者，并不是数学的创造者.数学既然已经独立于人的思维且已自行构建完成，我们就可以大胆地说所有数学命题都有真伪，且真伪早已存在于数学家发现它们之前.因此排中律的假设必然是成立的，当然选择公理和其他的等价陈述也必然成立，这也是为什么古典逻辑（亚里士多德）能被大部分数学家采纳几千年.后来，这种思想被数学的直觉主义学派所取代.这两种思想是目前数学证明理论的两大数学哲学思想.前者一般称为古典数学，后者称为新古典或直觉主义数学.（三）古典数学与学习理论的关联性及应用性目前，全世界主流的数学还是以古典数学为主，主要原因笔者认为是我们受到二元论的主导，当然采用二元论是为了方便行事，在推论上更能容易有效拓展，但是这和客观事物的存在性关系并不是绝对的.也就是说，对于古典数学的这个存在性是毋庸置疑的，然而对于新古典数学家来说，这个存在性是要经过人的经验来确认的.因此，“毋庸置疑”是一个数学经验的过程，不是一个结论.实在论和反实在论的哲学思想主导了人类思维好几千年，这个辩证思想当然不是要得出正确或唯一的答案，而是借由这个辩证思想不断地去丰富人类的思考内容及反思，当然这个哲学思想并不仅仅是在数学这个科目体现，同样，其他的学科也都深受这些哲学思想的影响.这些哲学思想：实在论与反实在论还是在争论不休中，由祝杨军的《对数学实在论与反实在论之争的辩证考察》一文就可以清楚地看到彼此的观点及主张：“一直以来，作为数学中基础问题的实在论与反实在论之间的争论不绝于耳、历久弥新.它直接关系到数学是否具有客观性、确定性与真理性”.（祝杨军，2014）三、形式主义与引入心理结构的认知学习理论（一）形式主义在数学上的内涵形式主义以德国数学家戴维希尔伯特为代表，强调的是公理系统，将数学的正确陈述以公理系统来表述.公理化系统可以追溯到欧几里得的《几何原本》，例如在兰纪正等人所译的《几何原本》一书中所揭示的公理：两点间可以画一条直线、任何直角都相等、彼此能重合的物体是全等的.（兰纪正，2003，P.3-5）接着欧几里得就利用他的定义及公理陈述去证明其他命题的真伪，这便是最早的一个典型的公理化（形式化）过程.很多古代数学家便是利用这套公理化的系统来理解这个世界或数学，尤其是几何学和数论等科目.近代数学家希尔伯特也曾经对几何进行公理化陈述，冯诺依曼更是直接对量子力学及集合论进行公理化陈述，可见公理化并不是数学的专利，其他学科，例如经济学的假设等等，或多或少也是一种公理化形式，只不过不是以数学那么精简的形式陈述.还有，假设本身是多样化的，具有较强的变动性，反之，公理化则不易变动，并具有较高的直觉性.以学习者的角度来看，形式化并不是完全新颖的，在他们自己的专业上，多少都存在形式化的陈述，这种陈述有时是根据客观世界来判定的，有时是数学家本身的陈述.（二）形式主义与学习理论的关联性及应用性这个形式主义比较靠近引入心理结构的认知学习理论，考虑的客体是目前实际在使用的数学系统.对于学习者而言，这个理论适用于跨领域学习，原因是，当你将一数学客体形式化后，即可转入其他系统中使用或应用，如数学与电子计算机的跨领域研究及应用.因此数学科目，如集合论、（非）线性规划、最优化问题等等，可以强化形式主义的教学理念，把认知学习的对象锁定为形式主义的客体，透过形式主义可以简单地将复杂的客体移植到不同的学科，对于跨学科的整合学习是个相当有效率的学习方式.实际上，美国有些金融投资公司聘请的高级技术人员便是搞纯数学的，有些甚至是数学逻辑学家或集合论学家，这对于没有接触过形式主义数学训练的人来说是很难理解的.这些公司之所以聘用纯数学的数学家，主要原因是：一个学问一旦被形式化后，便可以将该学问抽象化、语言化及逻辑化，这样便容易移植到其他学问中.形式主义除了可以和认知学习结合使用外，它本身也是一个被思考的客体.也就是说，当一个复杂的客体被形式化。