结构力学图乘法.doc

§4－6 图乘法 我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分的数值这里，、是两个弯矩函数的乘积对于直杆或直杆的一段，若EI是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便下面说明图乘法的内容和应用 图4－20所示为直杆AB的两个弯矩图，其中图为一直线如果该杆截面抗弯刚度EI为一常数，则 (a)以O为原点，以α表示图直线的倾角，则图上任一点标距（纵坐标）可表示为因此， （b）式中，可看作图的微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；是这个微分面积对y轴的面积矩于是就是图的面积ω对y轴的面积矩以表示图的形心C到y轴的距离，则将上式代人式（b），得到 (c)其中，是在图形心C对应处的图标距利用式（c），式（a）可写成 （4－ 29） 这就是图乘法所使用的公式它将式（a）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题 应用图乘法计算时要注意两点： （1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距应取自直线图中。

2）正负号规则：面积ω与标距在杆的同一边时，乘积取正号；ω与在杆的不同边时取负号图4－21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置用抛物线图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行 下面指出应用图乘法时的几个具体问题 （1）如果两个图形都是直线图形，则标距可取自其中任一个图形 （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑对于图 4－22所示的情形，则有（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑 例如，图4－23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形（图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用图乘法因此 （a）其中，所以:又如，图 4－24中的图可以分解为两个三角形：三角形 ADB在坐标轴以上，三角形ABC在坐标轴以下这时所以: 图4－25a所示为一段直杆AB在均布荷载q作用下的图由第二章可知，图是由两端弯矩、组成的直线图（图4－25b中的图）和简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图(图4－25c中的图）叠加而成的因此，可将图分解为直线的图和抛物线的图，然后再应用图乘法。

还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加所以虽然图4－25a中的M图与图4－25C中的M图形状并不相似，但在同一横坐标C处，二者的纵坐标是相同的，微段的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的例4－8 用图乘法计算图4－26a所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角Δ例4－9 图4－27a所示为一悬臂梁，在A点作用集中荷载P，求中点C的挠度例4－10 图4－28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图已知板宽1m，厚2.5 cm，混凝土容重为板的起吊点为 A、B求 C点挠度。