几何中及尺规作图法.doc

1第七讲　尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力二、作图公法（1） 通过两个已知点可作一直线；（2） 已知圆心和半径作圆；（3） 若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点上面三条叫作图公法若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法它可以在以后的作图中直接应用下面列举一些：（1）任意延长已知线段2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形5）已知一直角边和斜边，作直角三角形6）作已知线段的中点7）作已知线段的垂直平分线8）作已知角的平分线9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。

11）已知边长作正方形12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧2（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆14）过圆上或圆外一点作圆的切线15）作两已知圆的内、外公切线3（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差18）作一线段，使之等于已知线段的 n 倍或 n 等分19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比20）作已知三线段 的第四比例项abc（21）作已知两线段 的比例中项22）已知线段 作一线段为 ，或作一线段为 ab2xab2()xab4四、解作图题的步骤①　分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索这个过程就是分析，是解题重要的一步②作法：利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述③证明：证所作图确实具有所设条件④讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系尺规作图法举例一、交轨法一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件 和1C，如果能求出合于条件 的轨迹 和合于条件 的轨迹 ，那么 和 的交点同时2C1C1F2C2F12满足 和 ，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为 交轨法。

12决定某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的例 1　在已知弧 上求一点 M，使弦的比为 AmB::1ABpq分析：设点 M 已求到，满足 ，则点 M 既在弧 上，又在一个阿氏圆::pqm上，内分、外分 AB 于 C、D，使 ，阿氏圆是以 CD 为直径的:D圆作法：如分析过程定出 C、D 两点，以 CD 为直径作圆，它与 相交于所求点 M图AB形略证明：略（阿氏圆的性质知显然）讨论：本题恒有一解 （C 在圆内而 D 在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径 CD 的另一侧，不在 上） AmB解法二：由角平分线性质知，∠AMB 的平分线 MN 必过 C 点，故不必作阿氏圆，只要定出 C 和 N 即可，而 N 为 的中点，作 AB 的中垂线即可如下图所示5例 2　已知△ABC 的底边 ，顶角 A 以及余二边的平方和 ，求作这三角形a22bck分析：如图，设△ABC 已作成， ，且 任作 后，,BCABCBaA 的一个轨迹是以 BC 为弦而内接角等于 的圆弧若以 M 表示 BC 的中点，则（斯特瓦尔特定理）2221ka即 A 点的另一轨迹是以 M 为圆心，半径为 的圆周，因而 A 点定。

2k作法：作线段 ，在 BC 上作内接角等于 的圆弧；作 ；圆与BCa21(,)ka:圆弧的交点为所求的 A 点证明：略讨论：显然 ，否则无意义；若 A 为锐角，当 时，2ka2cot2aka与圆弧 有两交点 A 与 ，但 ，只算作一解；1(,)M::mBBCA否则无解若 A 为钝角，当 时有一解，否则无解21cot2aak若 A 为直角，a=k 时显然有无穷多解，当 a≠k 时无解6二、三角形奠基法作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形该方法称为三角形奠基法 例 3　已知 的三中线 的长度，求作该三角形ABC,abcm分析：设 已作出， 为重心，图中无奠基的三角形延长 到 , 使 ，ABCGGLKL则 三边已知，各为中线长的 GK2/3作法：作 ，使 ， ， ，作 的中点()am(/)bB(2/3)cm，并延长 到 使 延长 至 使 ，则 即所求者LLLAABC证明：由作法， 是 的中点，因而 是 的中线由于 ， 是CL的重心，并且　 ，以 、 表 、 的中点，由ABC3(/2)aAGKMN于 是重心，则 ， ，所以G(/)bMBm(3/)(/2)cNGKm合于条件。

讨论：本题有无解，取决于 是否存在，存在的条件是：， ， .abcmbcacab7故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解例 4　已知△ABC 的 ，求作该三角形ahtm分析：△ABC 若已作成，高 ，角平分线 ，中线 .aAHhaATtaMm和 都可作出，取 为基础三角形，设 AT 交外接圆于 P，则 P 为RtAHTM的中点，P 可由 AT 及 MH 在 M 点的垂线相交决定然后定圆心 O，O 在 PM 上，也:BC在 AP 的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出 B、C 作法：作直角 ，使 ， ， .90AHahaAm在射线 HM 上作 T 点使　 ，过 M 作 HM 的垂线与直线 AT 相交于 P作 AP 的中at垂线交 PM 于 O以 O 为中心，以 OA 为半径作圆，设其交直线 HM 于 B 及 C，则即所求ABC证明：因 O 在 AP 的中垂线上，则 OP＝OA，从而 P 是 的中点，从而 AM 是 的:CA中线，而 AP 是 的平分线可见 中，有高 ，中线 ，平分AABaHhaMm角线 ，即 合于所设条件aTtB讨论：① 当 三者有两个相等时，△ABC 为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若,ahtm8都相等便成不定问题，有无穷多解。

② 当 互不相等时，解要存在，则△AMH 存在且 P 存在，并且 P 和 A 落在 HM,ahtm的异侧（若 ，则 P 与 A 落在 MH 同侧） ，才能保证 B、C 存在，要保证这些事at项，则必有 T 介于 H 和 M 之间，有解的条件是： .aahtm例 5　求作△ABC，已知 .,abcmh分析：设△ABC 已作出，G 为重心，由重心的性质知 ，从而13BCGABCS，△BCG 可作13aMAHh证明：略（关键是证 G 为重心，连 AG 交 BC 于点 F，证明 N 是中点）讨论：△ABC 能否作出决定于△BCG 能否作出显然， 且 ，即M且 时有一解，否则无解2abhmac三、合同变换法将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的方法常用的有对称变换、平移变换和旋转变换例 6　求作△ABC，已知 ，两底角之差 . ,ahBC9分析：△ABC 已作出，先作 ，由于 ，故 A 点的一个轨迹是 BC 的一条平BCaahH行线 XY现为了把 表示在图形上，延长 BA 到 E，作 C 关于 XY 的对称点 D，则AYY∴ ，从而 A 的另一轨迹是以 BD 为弦内接角等于 的弓形弧。

180BAD 180作法证明：略讨论：以 BD 为弦内接角等于 的弓形弧的对称弧交 XY 于一点 ，但 中，180 ABC，不符合条件，故本题只有一解C例 7　给定两平行线 及 和它们外侧各一点 A、B（如下图　） ，求自 A 至 B 的最短路线，xy使介于 、 间的部分与定直线 平行xyz10分析：在 、 上任取点 、 满足 ， 最短在于xyXY/zAXYB最短现 ，C 为定点（实际上， ） ，且AXYB()TMNA   ()TMNC   .则 Y 定，进而 X 定X、Y 为所求CB作法：略　证明：略讨论：本题恒有一解例 8　给定△ABC，求作一直线平行于 BC，交 AB、AC 于 D、E，使 AD＝EC.分析：如图，将 ，则 ，所以 AF 为 的平()TEDCF   BADFCAA分线由 F 定 D，然后定 E 即可恒有一解作法：由分析作法显然证明：略例 9　给三平行线 ，求以 上一定点 A 为顶点作正三角形 ABC，使余二点分别落在,abc、 上　bc分析：设△ABC 已作好，作 ， ，这时， 旋转为 ，AHb(,60)RABCH    b11与 的交点为 ，进而可定 B。

bcC作法：作 于 H，作 且 ，过 作 ， 交 于Ab60AHAbAHc点 ，再作 ，使 与 有相同转向，B 是直线 AB 与 的交点60C证明：只要证明 AB＝AC 就足以保证 是正三角形由于 ，立刻'C推出 所以两个直角三角形 和　 有一直角边及一锐角对应相'BC'等，因而合同所以 AB＝AC讨论：由于 或 ，所以有两解60)RAH    (,60)RAH   四、代数分析法有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数计算求得该线段，此方法叫代数分析法例 10　求作一圆，使通过两定点 A、B 并切于已知直线 l12分析：如图　，关键在于确定切点 T 的位置，如能定，过 A、B、T 三点的圆就为所求设 AB 与 交于 ， ，则 ，即 是线段 OA、OB 的比例中项，即 TlOx2xAOx可确定，进而圆可定作法：如分析所作，见下图 1证明：略讨论：① 直线 AB 与 交于一点且 A、B 在 的同侧时，有二解，如图 1ll② 或 A、B 之一在 上时，有一解如图 2 和 3/l③ A、B 在 的异侧时无解例 11　求作一直线平行于梯形的底边，且平分该面积。

分析：设图已作成，设 AB 交 CD 于 O， ，则,,AaBbOEx，12OEFADBCSS12EFBCDS由此　 ，又 ，()O 2::OEFAOBCSxa所以　 .故 E 点定22)xab作法：如图证明：略讨论：恒有一解13尺规作图可能性的判断一、判断准则任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程 或0xcyd或 三种不同组合组成的方程组的解而方程组的解是0yd20xyefd通过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为：定理：一个作图题中所求线段 ，可由一次齐次式 表示，则 能由尺x12(,)nxFa x规作出 F 仅含关于已知线段 的有限次加、减、乘、除、开平方运算，(1,2)ian并且 F 在定义域中能取实值二、几个古典几何作图题1．倍立方问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体的体积的 2 倍设已知立方体棱长为 ，求作的立方体的棱长为 ，则 ，惟一的实根为ax3a，不可能由 经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。

不能由尺规作出32xa2．。