高三数学《函数与导数》测试题(理科)(含答案).pdf

高三数学函数与导数测试题（理科）一. 选择题1设f : xx2 是集合A到集合B的映射，若B1, 2，则AB为() AB1 C或2D或1 2函数f(x) xln x的零点所在的区间为（）A（1，0）B（0，1）C （1， 2）D （1，e）a3若函数f(x) log (x2 ax3)在区间(, 上为减函数，则a的取值范围是( ) a2 A(0，1) B (1 ， )C(1，2 3) D (0 ，1)(1 ，2 3) xex0 1 4若，则（g(x) g(g( ) ln xx0 2 ）1 1 AB1 C2 Deln 22 5已知f(x) ax3 bx2 cxd的图象如图所示，则有( ) y Ab0 B0 b1 C1b2 x o 1 2 Db2 6. 已知函数f(x) 定义域为R，则下列命题：若yf (x) 为偶函数，则yf (x2)的图象关于y轴对称 . 若yf (x2)为偶函数，则yf(x ) 关于直线x2 对称. 若函数yf(2 x1)是偶函数，则yf(2 x) 的图象关于直线1 对称 . x=2 若f(x2) f(2 x) ，则则yf (x) 关于直线x2 对称. 函数yf(x2) 和yf(2 x ) 的 图象关于x2 对称 . 其中正确的命题序号是() A.B.C.D.7. 设 f(x) 是连续的偶函数，且当x0时 f (x) 是单调函数，则满足x 3 f(x) fx4 的所有 x之和为（）A3 B3 C8 D 8 8函数f(x) 的定义域为（ a,b ），其导函数yf(x )在 (a,b ) 内的图象如图所示，则函数f(x) ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 在区间（ a,b ）内极小值点的个数是（9. 已知实数x、y满足 3 x22 y26，则 P2 x y的最大值是（）A. 7 B. 11 C. 2 3 D. 4 10函数f(x) 在定义域R 内可导，若f (x) f (2 x) ，且当x(, 1 ) 时，1 (x1) f(x) 0 ，设af (0), bf( ), cf(3).则2 （）AabcBcab CcbaDbca 二. 填空题11. 对任意实数x，定义x为不大于x的最大整数（例如3.4 3, 3.4 4 等），设函数f(x) xx f(x) 0 f(x) 1 f(x ) f(x) ，给出下列四个结论：； 是周期函数； 是偶函数其中正确结论的是12定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集” ，则集合1, 3 , 5 , 7, 9的“孙集”的个数有个13设f(x) 是定义在R上且以3 为周期的奇函数，若f (1) 1，(2) 2 3 afa1 ，则实数a的取值范围是14 已知函数f( ) 2 ，g(x) xln x，h (x) xx1的零点分别为x , , xx1 xx2 x，3 则x1 , x , x的大小关系是2 3 x2 3cos 15 （选做题）（极坐标与参数方程）设曲线C的参数方程为（为参数），直y1 3sin线l的方程为x3y2 0，则曲线C上到直线l距离为7 10 的点的10 个数为（几何证明选讲）如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，PB交AC于点E，交 O于点D若PAPE，ABC，PD1，PB9 ，则EC_60 三. 解答题16 已知函数fxxmxn的图像过点1在3，且f1xf1x对任意实数都成2 立，函数ygx与yfx的图像关于原点对称。

）求fx与g(x)的解析式；（ ）若F(x)= g(x)fx在-1 ，1上是增函数，求实数 的取值范围17. 对于函数f(x ) ），若f (x) x，则称x为f(x) 的“不动点 ”. 若f f(x) x，则称x为f(x) f(x) AB）的 “稳定点 ” ；函数的“不动点 ”和“稳定点 ”的集合分别记为和，即Ax|f(x) xBx| ff(x) x，.（1）求证：AB；（2）若f(x) ax2 1 ( aR , xR ) ，且AB，求实数a的取值范围 .18 如图，在四棱锥PABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形，已知PAAD2AB4 ， Q是线段 PD上一点，PCAQ . P( 1 ) 求证 AQ面 PCD ；Q（2）求 PC与平面 ABQ 所成角的正弦值大小ADBC第 18 题图19. 设函数f(x) (1x)2 ln(1 x)2(1) 求函数f(x) 的单调区间 ; 1 (2) 当x 1, e1时，不等式f(x ) m恒成立 , 求实数m的取值范围 ; e(3) 关于x的方程f (x) x2 xa在0, 2上恰有两个相异实根，求a的取值范围 . 20对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度( 含污物体的清洁度定义为: 污物质量）10.8 0.99 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方物体质量（含污物）案甲 : 一次清洗 ; 方案乙 : 分两次清洗 . 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为x0.8 a (1 a3) x(xa1) y. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量x1 yac的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度. c(0.8 c0.99) ya( )分别求出方案甲以及c0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; ( )若采用方案乙 , 当a为某固定值时 , 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小 ? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21. 已知点F0,1，一动圆过点F且与圆内切2 x2 y1 8 （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设点Aa,0，点P为曲线C上任意一点，求点A到点P距离的最大值da；（3）在（ 2）的条件下，若0 a1， BOA 的面积为 S （ O是坐标原点，B是曲线 C上横坐1 1 标为a的点），以da为边长的正方形的面积为若正数满足，问是否存在最SmSmSm2 1 2 4 小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由参考答案一、选择题DBCAA CCABB 二、填空题2 11. 12. 26 13. 14. 15. 2 , 4 a1或 axxx3 2 1 3 三、解答题16. (1) f(x) x2 2x, g(x ) x2 2x(2) 0 17. （1）若A，则AB显然成立；若A，设tA，并且f(t) t，于是f f(t) f (t) ttBAB，即，从而.（2）A中元素是方程f(x) x，即ax2 1x的实根 . a0 1 由A，知a0 或即a. 1 4 a0 4 Ba(ax2 1)2 1xa3x4 2a2 x2 xa10 中元素是方程，即的实根 . 由AB知上方程左边含有一个因式ax2 x1，即方程可化为(axx1)( a xaxa1) 0 2 2 2 因此，要AB，即方程a2 x2 axa10 没有实根或实根是方程ax2 x10 的实根 .a0 3 若没有实根，则a0 或，由此解得a. a4 a (1 a) 0 4 2 2 1 若有实根，则 的实根是 的实根。

当时有唯一根，检验发现是的根a3 2 x4 3 3 a2 aa1 3 当时，方程 同解，由此解得，由此解得. 舍去aa4 a1 1 4 1 3 故a的取值范围是，4 4 18. (2)解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A0, 0 , 0，B2, 0, 0C2, 4,0D0, 4,0P0,0, 4Q0, a,4a0 a4PC2,4, 4，. 设,则，0, ,4AQaa0 2 PCAQPCAQa设平面 ABQ 的一个法向量为nx, y , zx0 AQ n0 2y2z0 y1 n0, 1,1 2x0 ABn0 z1 设 PC与平面 ABQ 所成角为,则 sinPCnPCn2 2 3 PCABQ与平面所成角的大小为arcsin 2 2 3 1 2 x(x2) 19. (1)函数定义域为(,1) (1,) , (x ) 2( x 1 , f) x1 x1 由f(x) 0,得2 x1 或 x0 ；由f(x) 0, 得x2或1 x0. 则递增区间是(2, 1), (0,) 递减区间是(,2), (1, 0 ) 1 1 1 1 (2) 由（ 1）知 , f(x) 在 1,0上递减 , 在上递增 . 又. 0, e1 f( 1 )2,f(e 1 )e2, 且 e2 2 2 2 2 eeee2 1 fme2 2 f(x) mx1, e 1 max ex 时, ( ) 2 2,故时, 不等式恒成立 . e(3) 方程f(x)x2xa,即xa1ln(1 x )20. 记g(x )xa1ln(1 x)2, 2x1则g(x )0,x1或 x1 ,g(x)0,1x1.g(x)0 ,1. 由得由得在上递减 , g(x )11xx1在1,2上递增 . 为使f(x)x2xa在 0,2 上恰好有两个相异的实根, 只须g(x )0(0)0g22ln2a32ln 2在0 ，1）和（ 1，2 上各有一个实根, 于是解得g(1) 0.g(2)0 20. 解（ 1）设方案甲与乙的用水量分别为x与z，x0.1由题设，解得。

0.99x19x1由c0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足y0.95 a0.99，解得yay4 az34a .，故即两种方案的用水量分别为19 和4a3因为1a3时，xz4(4a)0，即xz故方案乙的用水量较少2）设初次和第二次的用水量分别为x与y类似（ 1）得5 c4x,ya(99100 c)（* ）5(1 c )于是5 c41xya (99100 c)100 a (1c)a1.5(1 c)5(1 c)当a为定值时，1xy2100 a (1c)a1a4 5a1.5(1 c)11当且仅当时等号成立，此时（不合题意，舍去）或100 a(1c)c15(1)10 5cac11(0.8,0.99)10 5 a1将代入（ *）式得c1x2 5a1,y2 5aa .10 5a1故时总用水量最少，此时第一次与第二次的用水量分别为与c12 5 a110 5 a2 5 aa . T(a) a4 5 a1. 最少总用水量是当1a3 时，T (a) 2 5 1 0，故是增函数，这说明随着的值的增加，最少总水T(a) aa 量增加21.解：（1）设动圆圆心x , y，则动圆的半径2 rx2 y1 又动圆与xy内切2 2 2 1 8 x2 y1 2 2 ry2 化简得即所求轨迹方程为x2 1 2 y2 x2 1 2 （2）设Px, y，则PA2 xa2 2 2x2 xa2 2 a2 2 令fxxaa，又x1,12 2 2 2 a1 fx1,1a1即时，在上单调减2 max 1 1 f xfa1a1 fx1,aa ,11 a1即时，在上单调增，在上单调减max 2 2 f xfaa2 a1 fx1,1a1即时，在上单调增2 max 1 1 f xfaaa1 1 综上所述，2 2 11 d aaa2 1 aa1 （3）0a1时，1 1 P a,2 2a2 Sa 2 1a2 2 S2 2a2 2 若正数 m满足条件，则即1 1 aa2 m a2 2 1 2 2 m2 4 2a 2 1aa2 1 m2 2 2 12 2a 1aaa2 2 ，令 f a，设1 1,2 ta2 2 2 1 a1 a2 2 则2 t1 2 t1 3 1 2fa4 tt4 4 24 1, 21 3 1 1 1 即时，即tfam2 mt4 3 4 4 2 max m综上所述，存在最小值1 2 。