实验4-Laypunov方程求解.doc

《现代控制理论》实验四院　　系： 学生姓名： 学 号：一：原理1.李雅普诺夫稳定性概念忽视输入后，非线性时变系统的状态方程如下 （1）式中，为维状态向量；为时间变量； 为维函数，其展开式为 假定方程的解为 ，和分别为初始状态向量和初始时刻，平衡状态 如果对于所有，满足 （2）的状态称为平衡状态（又称为平衡点）平衡状态的各分量不再随时间变化若已知状态方程，令 所求得的解，便是平衡状态对于线性定常系统，其平衡状态满足 ，如果非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一种位于状态空间原点的平衡状态至于非线性系统，的解也许有多种，由系统状态方程决定控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是有关平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为鉴于实际线性系统只有一种平衡状态，平衡状态的稳定性可以表征整个系统的稳定性对于具有多种平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相似，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。

本节重要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，由于任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会变化系统的稳定性 （a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c） 不稳定性图1 稳定性的平面几何表达2.李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的e > 0，均存在一种，当时始状态满足时，系统运动轨迹满足，则称该平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的该定义的平面几何表达见图8-18（a），表达状态空间中点至点之间的距离，其数学体现式为 （3） 设系统初始状态位于平衡状态为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于觉得球心，半径为的闭球域内2）一致稳定性： 一般与、 均有关如果与无关，则称平衡状态是一致稳定的定常系统的与无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的3）渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 （4）称此平衡状态是渐近稳定的这时，从 出发的轨迹不仅不会超过，且当时收敛于或其附近，其平面几何表达见图8-18（b）。

4）大范畴稳定性 当时始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范畴稳定的，或全局稳定的此时，，，对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范畴稳定性，由于线性系统稳定性与初始条件无关非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切有关，一般只能在小范畴内稳定5）不稳定性 不管获得得多么小，只要在内有一条从出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的其平面几何表达见图8-18（c）注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过 ，则觉得是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同典型控制理论中的稳定性定义是有差别的典型控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定3.李雅普诺夫稳定性间接鉴别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是运用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的措施，它合用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统线性定常系统的特性值判据 系统渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的所有特性值位于复平面左半部，即 （5）证明 假定A有相异特性值，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换（P由特性值相应的特性向量构成，为一常数矩阵），可使对角化，有 变换后状态方程的解为 由于 ，故原状态方程的解为 有 将上式展开，的每一元素都是的线性组合，因而可写成矩阵多项式 故可以显式表出与的关系当式（8-74）成立时，对于任意，均有，系统渐近稳定。

只要有一种特性值的实部不小于零，对于,便无限增长，系统不稳定如果只有一种（或一对，且均不能是重根）特性值的实部等于零，其他特性值实部均不不小于零，便具有常数项或三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的4.李雅普诺夫稳定性直接鉴别法李雅普诺夫第二法（直接法）是运用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，它对多种控制系统均合用根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态实际系统的能量函数体现式相称难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数它与及有关，是一种标量函数，记以；若不显含，则记以考虑到能量总不小于零，故为正定函数，能量衰减特性用表达遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用措施，需要凭经验与技巧实践表白，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数1.标量函数定号性 （1）正定性 标量函数在域中对所有非零状态有且，称在域内正定如是正定的2）负定性 标量函数在域中对所有非零有且，称在域内负定如是负定的如果是负定的，-则一定是正定的3）负（正）半定性 ，且在域内某些状态处有，而其他状态处均有（），则称在域内负（正）半定。

设为负半定，则为正半定如为正半定4）不定性 在域内可正可负，则称不定如是不定的有关正定性的提法是：标量函数在域中，对于及所有非零状态有,且，则称在域内正定的其他定号性提法类同二次型函数是一类重要的标量函数，记 （6）其中，为对称矩阵，有显然满足，其定号性由赛尔维斯特准则鉴定当的各顺序主子行列式均不小于零时，即 （7）为正定矩阵，则正定当的各顺序主子行列式负、正相间时，即 （8）为负定矩阵，则负定若主子行列式具有等于零的状况，则为正半定或负半定不属以上所有状况的不定下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的论述和应用2.李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在对的持续的一阶偏导数定理1 若①正定，②负定；则原点是渐近稳定的负定表达能量随时间持续单调地衰减，故与渐近稳定性定义论述一致定理2 若①正定；②负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的负半定表达在非零状态存在，但在从初态出发的轨迹上，不存在的状况，于是系统将继续运营至原点。

状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态定理3 若①正定；②负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的沿状态轨迹能维持，表达系统能维持等能量水平运营，使系统维持在非零状态而不运营至原点定理4 若①正定；②正定；则原点是不稳定的正定表达能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散参照定理2可推论：正定，当正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定应注意到，李雅普诺夫函数[正定的]的选用是不惟一的，但只要找到一种满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选用的不同而有所影响但是至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用措施，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的重要障碍如果选用不当，会导致不定的成果，这时便作不出拟定的判断，需要重新选用以上定理按照持续单调衰减的规定来拟定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统也许存在衰减振荡的状况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充足条件具体分析时，先构造一种李雅普诺夫函数，一般选二次型函数，求其导数，再将状态方程代入，最后根据的定号性鉴别稳定性至于如何判断在非零状态下与否有恒为零的状况，可按如下措施进行：令，将状态方程代入，若能导出非零解，表达对，的条件是成立的；若导出的是全零解，表达只有原点满足的条件。

二：程序：A=[0 1;-1 -1];Q=eye(size(A,1));p=lyap(A,Q);p_eig=eig(p);if min(p_eig)>0 disp('the system is lypunov stable.')else disp('the system is not lypunov stable.')end。