内积空间与希尔伯特空间-完整版.pdf

2.3内积空间与希尔伯特空间 通过前面的学习，知道n维欧氏空间就是n维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量 的模， 表明了线性赋范空间的代数结构对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两 个向量有夹角， 例如为向量和的夹角时有：cos 或者cos， 其中 表示两个向量的数量积(或点积或内积)，表示向量的模 于是便有了直交性、直交投影以及 向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”通过性空间上定义内积，可得到 内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert 空间 2.3.1 内积空间 定义 1.1设 U 是数域K上的线性空间， 若存在映射( , ) ：UUK ，使得, ,x y zU ， K ，它满足以下内积公理： (1) ( , )0 x x； ( , )00 x xx；正定性 (或非负性 ) (2) ( ,)( , )x yy x；共轭对称性 (3) (, )( , )( , )xz yx yz y ，线性性 则称在 U 上定义了内积( , ) ，称 ( , )x y 为x与 y 的内积， U 为K上的 内积空间 (Inner product spaces )当KR时，称 U 为实内积空间；当KC 时，称 U 为复内积空间称有限维的实内 积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间 , 即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces )空间 注 1：关于复数：设zabiC ，那么 22 zaboz ；(cossin )zri其中为辐 射角、rz； 2 z zz； zz ；对于 12,z zC ，有1212zzzz 注 2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性 注 3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的 因为( ,)(, )( , )( , )( , )xyy xy xy xx y，所以有 ( ,)( , )( , )xyzx yx z， 即对于第二变元是共轭线性的在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为 线性的 在n维欧氏空间 n R 中，, n R，有cos，即cos下 面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立如果在内积空间上定义范数 1 2 ( , )xx x，其 中 x U ，通过 Schwarz 不等式可证明U 为线性赋范空间，即需验证 1 2 ( ,)满足范数公理 引理 1.1Schwarz 不等式 设 U 为内积空间，,x yU 有( , )x yxy 证明当 0 x 或者 0y 时，显然结论成立假设 0 x 及 0y ，那么 C有 (,)0 xy xy 即 0(,)xy xy( , )( ,)( , )( , )x xx yy xy y ( , )( , )( ,)( , )x xx yy yy x 令 ( , ) ( , ) x y y y ，则有 2 ( , ) 0( , ) ( ,) x y x x y y ，即 222 ( ,)( , )( , )x yx xy yxy， 因此( , )x yxy 讨论什么条件下？Schwarz 不等式中的( , )x yxy成立 验证 1 2 ( ,)满足范数公理 (1)正定性和 (2)齐次性容验证；(3)三角不等式：,x yU 有 2 (,)xyxy xy( ,)( ,)x xyy xy ( ,)( ,)x xyy xy xxyyxy ()xyxy 故xyxy 因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数 1 2 ( , )xx x导出的距离为 1 2 ( , )(,)d x yxyxy xy 例 1.1在点列依范数收敛时，内积 ( , )x y 是, x y的连续映射 即内积空间 U 中的点列 n x， n y依范数收敛 0n x x ， 0n yy ，那么有 00 (,)(,) nn xyxy 证明因为当n时 0nyy ，所以 ny有界，即存在正实数0M，使得n yM，那 么 000000 (,)(,)(,)(,)(,)(,) nnnnnn xyxyxyxyxyxy 0000(,)(,)(,)(,)nnnnxyxyxyxy 000 (,)(,) nnn xxyxyy 000nnnxxyxyy 000 0 nn xxMxyy 因此二元函数( , )( , )F x yx y 是连续函数 2.3.2 希尔伯特空间 定义 1.2设 U 是数域K上的内积空间， 如果 U 按内积导出的范数 1 2 ( , )xx x成为 Banach 空间，就称 U 为 Hilbert 空间，简记为H空间 注 4：因为内积 ( , )x y 可导出范数 1 2 ( , )xx x，范数x可导出距离( , )d x yxy，所以有 内积空间线性赋范空间度量空间 其中称完备的线性赋范空间为Banach 空间，完备的内积空间为Hilbert 空间 下面给出一些Hilbert 空间的例子 1、实内积空间 n R 是 Hilbert 空间 对于 12 (,,,), n xx xxL 12 (,,,) n yyyyL n R ，n维欧式空间 n R 上的标准内积定义为 1122 ( , ) nn x yx yx yx yL 导出的范数为 1 2 2 1 () i n i xx ，距离为 1 2 2 1 ( , )() n ii i d x yxy 2、复内积空间 n C 是 Hilbert 空间 对于 12 (,,,), n xx xxL 12 (,,,) n yyyyL n C ，n维酉空间 n C 上的内积定义为 1122( , )nnx yx yx yx yL 导出的范数为 1 2 2 1 () n i i xx ，距离为 1 2 2 1 ( , )() n ii i d x yxy 3、复内积空间 2 l 是 Hilbert 空间 2 2 12 1 |(,,),, ii i lx xx xxxLC ， 2 , x yl，定义内积为 1122 1 ( , ) ii i x yx yx yx yL 由Cauchy不 等 式 知 11 22 22 111 ( ,)() () iiii iii x yx yxy ， 内 积 导 出 的 范 数 为 1 2 2 1 () i i xx ，距离为 1 2 2 1 ( , )() ii i d x yxy 4、复内积空间 2 , La b是 Hilbert 空间 22 a,b , ( ) :, | (L) | ( ) |La bx ta bx tdtC， 2 , , x yLa b定义内积为 a,b ( , )( ) ( ) ( )x yLx t y t dt 由荷尔德 (H?lder)公式知 11 22 22 a,ba,ba,ba,b ( , )( ) ( )( )( )(( )) (( ))x yx t y t dtx ty t dtx tdty tdt 内积导出的范数为 1 2 2 a,b (( ))xx tdt，距离为 1 2 2 a,b ( , )(( )( ))d x yx ty tdt 2.3.3 内积空间与线性赋范空间的关系 对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空 间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？ 定理 1.1极化恒等式内积空间中的内积与范数的关系式 (1) 在实内积空间中 221 ( , )() 4 x yxyxy (2) 在复内积空间中 22221 ( , )() 4 x yxyxyi xiyi xiy 证明(1) 由于在实内积空间中范数 1 2 ( , )xx x，所以 22 (,)(,)xyxyxy xyxy xy ( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )x xx yy xy yx xx yy xy y 2( , )2( , )x yy x 4( , )x y 同理可证 (2)复内积空间中的极化恒等式成立 注 5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有 22 4Re( ,)xyxyx y ； 对应的另一个结果可从下面的证明过程获得： 2222 22xyxyxy 由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一 个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？ 定理 1.2内积空间的特征性质 线性赋范空间X成为内积空间, x yX ，范数满足平行四边形公式 2222 22xyxyxy 证明必要性因为 1 2 ( , )xx x，所以 22 (,)(,)xyxyxy xyxy xy ( ,)( ,)( ,)( ,)x xyy xyx xyy xy ( ,)( ,)( ,)( ,)x xyy xyx xyy xy ( ,2 )( ,2 )xxyy 2( , )2( , )x xy y 22 22xy 充分性首先定义内积，当X是实内积空间时，定义 221 ( , )() 4 x yxyxy ； 当X是复内积空间时，定义 22221 ( , )() 4 x yxyxyi xiyi xiy 下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于X是复内积空间 时同理可证 (练习 ) 由于 2221 ( , )() 4 x xxxxxx，显然内积公理中的正定性成立；根据 222211 ( , )()()( , ) 44 x yxyxyyxyxy x 可知内积公理中的对称性同样成立下面证明 , ,x y zX及 R 有 (, )( , )( , )xy zx zy z ， (, )( , )x zx z 由平行四边形公式知： 2222 ()()()()22 222222 zzzzzz xyxyxy； 2222 ()()()()22 222222 zzzzzz xyxyxy 上述两式相减并除以4 得， 2222 22111 ()2()2() 4422422 zzzz xyzxyzxxyy 即(, )2( ,)2(,) 22 zz xy zxy，特别地，取0 x或0y得 ( , )2( ,) 2 z x zx ，( , ) 2( ,) 2 z y zy ， 于是 (, )( , )( , )xy zx zy z 利用归纳法可证对于正整数n ， ( , )( , )nx zn x z 成立，对于有理数 p r q ，其中, p qN ，有 (, )(, )(, )( , )q rx zqrx zpx zp x z ， 于是得 (, )( , ) ( , ) p rx zx zr x z q 成立因为对于实数R ，存在有理数列() nrn，所 以有 nr xx ，利用范数的连续性知(, )(, )nr x zx z ，故 (, )lim(, )lim( , )( , ) nn nn x zr x zrx zx z 注 6：对于线性赋范空间而X言，上述定理表明：如果X上的范数不满足平行四边形公 式，那么X上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是X上的范数 例 1.2 对于线性赋范空间 12 1 |(,,),, p p ii i lx xx xxxLC，其中1p，范数定义 为 1 1 () p p i i xx ，距离为 1 1 ( ,)() p p ii i d x yxy ， 前面章节的结论表明 p l为 Banach 空间 , 2 l 为 Hilbert 空间证明当2p时， p l 不成为内积空间 证明由上述定理知，只需验证当2p时， p l 不满足平行四边形公式令 (1,1,0,0,,0,)xLL，(1 , 1,0,0,,0,)yLL， 则, p x yl，且 1 2 p x， 1 2 p y以及2xy，2xy，于是 22 8xyxy， 222 22 22222242 ppp xy， 因此 2222 22xyxyxy 当且仅当2p，即当2p时， p l上不能定义内积( , )x x 使 得 1 2 ( , )xx 。