毕业论文-沃利斯公式的证明及其应用.doc

盐 城 师 范 学 院毕 业 论 文 沃利斯公式的证明及其应用学生姓名 学 院 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 班 级 10（2）班 学 号 10211255 指导教师 韩 诚 2014 年 5 月 25 日沃利斯公式的证明及其应用摘 要Wallis公式在求Euler-Poisson 积分和推导Stirling公式的过程中扮演了很重要的角色．近几年来，国内很多数学分析的教材都引入Wallis公式，但教材中关于其应用的论述很少．本文针对Wallis 公式的证明并将Wallis公式进行两个简单推广，从数列极限计算、积分计算以及级数收敛性判断几个方面探讨Wallis公式的应用，为微积分教学提供有意义的素材和思路．【关键词】Wallis 公式；极限；积分Proof and Its Applications of Wallis FormulaAbstractThe formula of Wallis plays an important role in the process to obtain the Euler- Poisson integral and the derivation of Stirling formula. In recent years, many domestic analysis mathematics textbooks into Wallis formula, but little about the applications of the teaching material. This paper proves that the little Wallis formula and the Wallis formula is two simple promotion, as well as the series convergence judgment application aspects of Wallis formula from the sequence limit calculation, integral calculation, to provide significant material and ideas for the teaching of calculus.[Key words] Wallis formula, limit, integral目 录引 言 .................................................................11 沃利斯公式的证明及推广 ...............................................11.1 沃利斯公式的新证明 ..............................................11.1.1 有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程 ...............11.1.2 应用含参量积分证明沃利斯公式 ...............................31.2 沃利斯公式的推广 ................................................41.2.1 含参数的沃利斯公式 .........................................41.2.2 含沃利斯公式的不等式 .......................................52 沃利斯公式的应用 .....................................................62.1 沃利斯公式在极限计算中的应用 ....................................62.2 沃利斯公式在积分计算中的应用 ....................................92.3 沃利斯公式在级数收敛判别中的应用 ...............................113 总 结 ...............................................................13参考文献 ..............................................................14盐城师范学院毕业论文第 1 页 共 14 页引 言近几年来，国内很多数学分析教材都引入 Wallis 公式，关于其证明方法有很多种，一般都是利用积分 证明的，本文将借助类比思维，分别利用sindcosnJxx根与系数关系的思维方法和含参量定积分来证明 Wallis 公式．此外，教材中关于其应用论述的很少，这是为什么呢？因为很多可以应用 Wallis 公式的“高地”被斯特林公式占领了．但本文搜集到一些不能应用斯特林公式却可以能应用 Wallis 公式的例子．且 Wallis 公式在推导斯特林公式中扮演很重要的角色，从加深理解 Wallis 公式的角度探求其一些简单推广以及其在极限计算、积分计算和级数收敛判别方面的应用．1 沃利斯公式的证明及推广1.1 沃利斯公式的新证明沃利斯公式 指的是1. 2124()lim31nn经过开平方后，则 Wallis 公式可以写为. 2(!)linn现引入这样的数学记号： ， ，则 Wallis135(1)()! 46(2)!n公式又可以写成. （1-2()!(1)!limlim22n nn或1）1.1.1 有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程类比的思维是人们把个别问题解决后所得到的经验用来解决其他近似问题的一种类似联想的思维的方法，类比这个重要的数学思想方法，曾被波利亚称为科学发现的“伟大引路人” ，被 17 世纪德国著名天文学家和数学家开普勒视为“知道大自然一[2]切秘密”的“导师”.在这我们也将采用类比思维.对于有限次代数方程 ， 假如有 个不同的根2010nbxbx n1,k盐城师范学院毕业论文第 2 页 共 14 页，那么左边的多项式就可以表示为 线性因子乘积，即2,k3 ,n k201 1231n nxxbxbk 比较这个恒等式两边 的同次幂的系数，就可以得到根和系数的关系.特别是偶数次方程 有 个不相同的根24201()0naxax，则有12,,,n，我们比较42012()nax 22220131nx二次项系数有. 10221na根据幂级数展开式 ，在 ，则1x. 2468sin3!57!9xx利用无穷多项方程. （1-2468103!57!9xx2）由于方程（1-2）的根为： ，则,2,4,62468 22221sin11113!57!9()(3)()()nxxxxxx  即. （1-21sinxn3）因为 绝对收敛，所以这无穷乘积是绝对收敛的. 21()nx在（1-3）中令 ，得,2221 1() ()!1limlim2 1tt tn n tt沃利斯公式（1-1）得证.盐城师范学院毕业论文第 3 页 共 14 页1.1.2 应用含参量积分证明沃利斯公式引理 1 设 ，则有320(,)sincod(,)mnJx. 　 　 11,2(2,)mJJn定理 1 设 ， ，证明 .120nIxnII证明 令 ，根据引理 1 得sit2 220 01ncod(,)(2,)sincodnIJnJtt  .sitx令21 1220 0dn nnxxxI由于， ，120d4Ix12013I因此当 时，即2(,)nm.2131(21)!264m mI 当 时，21(0,)n.21 1(2)!32753mI m则120()!,2d,(3)!nIxm .,1n另一方面，由定积分的保不等式性质知，当 时，有0,1x,112222212000dddmmmx xx 从而得到盐城师范学院毕业论文第 4 页 共 14 页，(2)!(1)!(2)!31mm从上式可得到.2 2()!12()!2311 在上式中，令 ，则2()!mAm.1223mA由于 ，因此根据迫敛性可知 ，因而2lili13mm 1limA.li2mA2()!li1Wallis 公式（ 1-1）得证. 1.2 沃利斯公式的推广1.2.1 含参数的沃利斯公式对任意非负实数 和正整数 ，则有xn（1-2(2)4()1lim13nxxnx   1()xI4）其中 . 20sidxxIt[4]证明 由分部积分法知，当 时，则有2u100sindsindcosuItt.2(1)()uuII因此有 .21uuII于是 ，2312nx xnI I，1 12x从而，21210nxnxxII盐城师范学院毕业论文第 5 页 共 14 页即，2121nxnxII令 ，利用夹逼定理并整理得到（1-4）式.n注 1 令 ，可以得到著名的 Wallis 公式0x1.2.2 含沃利斯公式的不等式关于 Wallis 公式 的研究一直以来都受数学家的关注 ，1956 年(21)!n: [5]给出了如下含 Wallis 公式形式的不等式Kazrinof [6]1(21)!()(14)nn本文将含 Wallis 公式不等式推广为当 时，有下列式子成立2K, （1-1211()k kKnKn5）或. （1-211() ()4k knKnK6）证明 如果 ，式（1-5）显然成立.1如果 ，用数学归纳法证明，式（1-5）左边2K当 时，显然成立.n假设对式子（1-5）的左边对于正整数 n 成立，则下面证明对于 同样成立，由1n归纳假设，只要证明,1(1)kkKK即证明 ,()()knn亦即 . （1-11()kK7）盐城师范学院毕业论文第 6 页 共 14 页根据伯努利不等式 [7].(1)kxK(1,0)xK或令 ，则()xnK.111()knnK所以式（1-7）成立.因此，对任意正整数 ，式子（1-5）的左边成立.下面证明式。