第17讲 导数的综合应用1.(2018江苏徐州一中高三第一学期阶段检测)已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m],其中m∈R,当函数f(x)的值域为[0,2]时,则实数m的取值范围为 . 2.(2018兴化第一学期期中考试)已知函数f(x)=x3-6x2+9x+a在R上有三个零点,则实数a的取值范围是 . 3.(2018靖江高级中学高三年级阶段检测)已知函数f(x)=2f'(1)lnx-x,则f(x)的极大值为 . 4.(2018江苏无锡检测)若函数f(x)=14sin(πx)与函数g(x)=x3+bx+c的定义域为[0,2],且它们在同一点有相同的最小值,则b+c= . 5.(2018江苏苏州调研)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为 . 6.(2018江苏淮阴中学第一学期阶段检测)函数f(x)=ex+m,g(x)=1+lnx,且f(a)=g(b),若a-b的最大值为2,则实数m的值为 . 7.(2017江苏无锡调研)若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是 . 8.(2018江苏姜堰中学、如东高级中学等五校高三上学期第一次学情检测)已知函数f(x)=ex-ex,g(x)=2ax+a,其中e为自然对数的底数,a∈R.(1)求证:f(x)≥0;(2)若存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),求a的取值范围;(3)若对任意的x∈(-∞,-1),f(x)≥g(x)恒成立,求a的最小值.9.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)已知函数f(x)=-x2+ax-4lnx-a+1(a∈R).(1)若f12+f(2)=0,求a的值;(2)若存在点x0∈1,3+52,使函数f(x)的图象在点(x0,f(x0)),1x0, f1x0处的切线互相垂直,求a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有两个极值点,则是否存在实数m,使f(x)0,f(x)递增,x∈(1,3),f'(x)<0,f(x)递减,x∈(3,+∞),f'(x)>0,f(x)递增,所以x=1时,函数取得极大值,x=3时,函数取得极小值,又函数有3个零点,所以则f(1)=4+a>0,f(3)=a<0⇒-40,f(x)递增,x∈(2,+∞),f'(x)<0,f(x)递减,所以x=2时,f(x)取得极大值f(2)=2ln2-2.4.答案 -14解析 因为函数f(x)=14sin(πx)在[0,2]上的最小值为f32=14sin32π=-14,又g'(x)=3x2+b,所以g'32=274+b=0,g32=278+3b2+c=-14⇒b=-274,c=132⇒b+c=-14.5.答案 3+ln22解析 由题意可设A(x1,a),B(x2,a),则a=2x1-2,a=2ex2+x2,|AB|=|x1-x2|=a+22-x2=2ex2+x2+22-x2=ex2-12x2+1,令f(x)=ex-12x+1,则f'(x)=ex-12,令f'(x)=0,则x=ln12,且xln12时,f'(x)>0,f(x)递增,则f(x)min=fln12=32-12ln12=3+ln22>0,故线段AB长度的最小值为3+ln22.6.答案 -3解析 令f(a)=f(b)=k,k>0,则a=lnk-m,b=eke,令f(k)=a-b=lnk-m-eke,k>0,则f'(k)=1k-eke=e-kekek,f'(k)=0,k=1,且k∈(0,1),f'(k)>0,f(k)递增,k∈(1,+∞),f'(k)<0,f(k)递减,则f(k)max=f(1)=-m-1=2,m=-3.7.答案 (-∞,-1]∪72,+∞解析 当a≤-1时,f(x)=(x+1)2(x-a),x∈[-1,2]单调递增,则f'(x)=(x+1)·(3x+1-2a)≥0,x∈[-1,2]恒成立,即3x+1-2a≥0,即2a≤(3x+1)min=-2,x∈[-1,2],则a≤-1适合;当-11时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得最小值.因为f(1)=0,所以f(x)≥0.(2)设F(x)=ex-ex-2ax-a,题设等价于函数F(x)有零点时a的取值范围.①当a≥0时,由F(1)=-3a≤0,F(-1)=e-1+e+a>0,所以F(x)有零点.②当-e2≤a<0时,若x≤0,由e+2a≥0,得F(x)=ex-(e+2a)x-a>0;若x>0,由(1)知,F(x)≥-a(2x+1)>0,所以F(x)无零点.③当a<-e2时,F(0)=1-a>0,又存在x0=1-ae+2a<0,F(x0)<1-(e+2a)x0-a=0,所以F(x)有零点.综上,a的取值范围是a<-e2或a≥0.(3)由题意得,a(2x+1)≤ex-ex,因为x<-1,所以a≥ex-ex2x+1.设G(x)=ex-ex2x+1(x<-1),其值域为A,由于G(x)--e2=ex-ex2x+1+e2=ex+e22x+1<0,所以G(x)<-e2.又G'(x)=2xex-ex-e(2x+1)2<0,所以G(x)在(-∞,-1)上为减函数,所以G(x)>G(-1)=-e-1e,记区间-e-1e,-e2=B,则A⊆B.①设函数H(x)=G(x)-m,m∈B,一方面,H(-1)=-e-1e-m<0;另一方面,H(x)=12x+1[ex-ex-m(2x+1)]=12x+1[(ex-1)-(e+2m)x+1-m],存在52m+e<-1,H52m+e=1102m+e+1·[(e52m+e-1)-m-4]>0,所以∃x1∈52m+e,-1,使H(x1)=0,即G(x1)=m,所以B⊆A.②由①,②知,A=B,从而a≥-e2,即a的最小值为-e2.9.解析 (1)f12=-14+a2-4ln12-a+1=34-a2+4ln2,f(2)=-4+2a-4ln2-a+1=-3+a-4ln2,f12+f(2)=-94+12a=0,∴a=92.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2x+a-4x,则f'(x0)=a-2x0-4x0,f'1x0=a-2x0-4x0.由题意得f'(x0)f'1x0=-1,则a2-6x0+1x0a+8x0+1x02+5=0,设t=x0+1x0,由x0∈1,3+52,得t∈(2,3),则有8t2-6at+a2+5=0在t∈(2,3)上有解,解得a∈[210,11).(3)f'(x)=-2x+a-4x=-2x2+ax-4x,令g(x)=-2x2+ax-4,由题意得g(x)在区间(1,+∞)上有两个不同的零点,则有Δ=a2-32>0,a4>1,g(1)<0,解得420,f'(x)>0,f(x)递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)递减.所以f(x)极大值=f(x2)=-x22+ax2-4lnx2-a+1=x22-2x2-4x2-4lnx2+5,x2∈(2,2),设h(x)=x2-2x-4x-4lnx+5,x∈(2,2),则有h'(x)=2(x-1)(x2-2)x2>0,所以h(x)在(2,2)上递增,所以h(2)0,所以f(x2)∈(7-42-2ln2,3-4ln2),又f(1)=0,所以存在m≥3-4ln2,使得f(x)
