四维Minkowski空间中类时超曲面的de+Sitter+Gauss映射的奇点分类论文.doc

摘要17 / 17.在本文中,我们定义了四维Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空闻中类时超蓝面,类时超曲面的ｄｅＳｉｔｔｅｒ高斯映射并建立了ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ高斯映射的奇点与在洛仑兹群作用下超曲面的几何不变量之.间的关系,并且运用Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ奇点理论的标准工具对该空间中类时超曲面的ｄｅ高斯映射的奇点进行分类．关键词ｔ类时超曲面,ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ Ｇａｕｓｓ映射,类时高度函数Ｓｉｔｔｅｒ.ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ Ｇａｕｓｓ ｍａｐ ｏｆ ｔｉｍｅｌｉｋｅ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅ.ｉｎＭｉｎｋｏｗｓｋｉ４－ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈａｔｏｂｊｅｃｔ.ａｎｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｏｆ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｇｒｏｕｐ ａｎｄａｓａｌｌ.ａｐｐｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔａｎｄａｒｄ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｏｆ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ,ｗｅ ｃｌａｓｓｉｆｙ ｔｈｅｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ Ｇａｕｓｓ ｍａｐ ｏｆ ｔｉｍｅｌｉｋｅ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅ ｉｎ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ４－ｓｐａｅｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅｌｉｋｅ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｅｅ,ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ Ｇａｕｓｓ ｍａｐ,ｔｉｍｅｌｉｋｅ ｈｅｉｇｈｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎＩＩ.独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意．.学位论文作者签名日期：.学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定,即；东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅．本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印,缩印或其它复制手段保存,汇编学位论文．〔保密的学位论文在解密后适用本授权书.学位论文作者签名指导教师签名.日期日期.学位论文作者毕业后去向：.工作单位,通讯地址,.§１引言.奇点理论是处在分析、微分拓扑,交换代数和李群等数学学科交汇处的一门新兴的数学分支,它在诸多领域中有广泛的应用．例如：奇点理论在物理学中有很高的应用价值,它在几何光学与波动光学中很好地描述了焦散线和波阵面这两种物理现象；奇点理论在微分几何方面也有广泛的应用,它对伪欧氏空间中的曲线,曲面和子流形按奇异性迸行分类,得到与欧氏空间中不同的结果,而伪欧氏空间有很强的物理背景,所以对它们进行研究是很有意义的．随着理论的深入发展,奇点理论的应用将越来越广泛．自从奇点理论诞生以来,经过几代数学家几十年的不懈努力,奇点理论已经得到.蓬勃的发展。

１９５５年,Ｈ．Ｗｈｉｔｎｅｙ发表的论文《平面到平面的映射》奠定了奇点理.论的基础,他指出欧氏空间中平面到平面映射的奇点只有两种——折叠和尖点,并证明了这两类奇点都是稳定的…１．在此之后,Ｒ．Ｔｈｏｒｎ在Ｈ．Ｗｈｉｔｎｅｙ工作的基础上提高了映射空间的维数,给出了Ｔｈｏｒｎ分类定理[２]从此奇点理论又迈上了新的台阶,在理论方面,奇点理论取得了重大进展,如Ｊ．Ｎ．Ｍａｔｈｅｒ的关于稳定性方面的一系列工作［３Ｊ．［６],Ｖ．Ｉ．Ａｒｎｏｌ’ｄ等人关于奇点分类方面的工作[７]；在应用方面,许多学者也在不同的领域作出了杰出的工作．例如Ｉ．Ｐｏｒｔｅｏｕｓ,Ｊ．Ｗ．Ｂｒｕｃｅ,Ｊ,Ａ．Ｌｉｔｔｌｅ,Ｓ．Ｉｚｕｍｉｙａ,裴东河,Ｓａｎｏ,Ｔａｋｅｕｃｈｉ等利用奇点理论的方法对微分几何进行一系列的研究[８１．［２０１；孙伟志,李养成,邹建成等人对有限决定性及奇点理论在分歧理论中应用的研究[２ｌ卜［２ｓｌ；姜广峰,余建明等对超平面构形奇点理论及其应用方面的研究［２９]．［删．奇点理论的最重要的结论之一是Ｔｈｏｒｎ分类定理中的七种初等突变模型；折叠,尖点、燕尾、蝴蝶,椭圆型脐点、抛物型脐点、双盐型脐点．Ｔｈｏｒｎ分类定理是奇点理论在２０世纪７０年代最重要的成果之一．四维Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间即碍作为时空模型受到物理学家的广泛关注,因此我们对其子流形的奇点的研究具有重要的实际意义．在参考文献［１７],ｆ１８]中,Ｓ．Ｉｚｕｍｙａ,裴东河等人已经研究了四维Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间中的类空曲面和类光超曲面的奇点．本文作为他们.工作的补充,建立了类时超曲面的局部微分几何理论,类时超曲面上的ｄｅＳｉｔｔｅｒ Ｇａｕｓｓ.映射１２工及类时高度函数．然后利用Ｖ．Ｉ．Ａｒｎｏｌ＇ｄ等入的Ｌａｇｒａｕｇｉａｎ奇点理论来研究类时.超曲面的ｄｅＳｉｔｔｅｒＧａｕｓｓ映射的奇点．.本文在第一节中介绍了四维Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ空间中的一些基本概念,给出了类时超曲面.和类时超曲面的ｄｅＳｉｔｔｅｒＧａｕｓｓ映射的定义．在第二节中,构造了类时高度函数,并通过.命题３．１．３．４、推论３．５证得此类时高度函数的分歧集恰好是ｄｅＳｉｔｔｅｒＧａｕｓｓ映射的临界.值．再由Ａｒｎｏｌ’ｄｌＴ］的Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ奇点理论的方法构造出Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ浸入,使得ｄｅ ＳｉｔｔｅｒＧａｕ∞映射的临界值恰是Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ浸入的焦散线．在第三节中,应用Ｍｏｎｔａｌｄｉ［３１１的切.触理论来研究类时超曲面与超平面的切触．在第四节中,给出了类时超曲面的ｄｅＧａｕｓｓ映射的奇点分类．本文中所涉及的映射与子流形均为光滑的．２Ｓｉｔｔｅｒ.§２基本概念设Ｒ４＝｛〔￡ｌ,２：２,￥３,ｚｔｌ≈∈Ｒ〔ｉ＝ｉ,２,３,４ｌ是四维向量空问．对于Ｒ４空间中的任意两个向量ｚ＝〔￡ｌ,ｚ２,Ｘ３,ｘ４,Ｙ＝〔玑,Ｙｚ,Ｙ３,ｙ４,ｚ和Ｙ的伪内积定义为,〔ｚ,Ｙ＝一ｘｌｙｌ＋∑：２ ｘｉｙｉ．我们称〔Ｒ４,〔,为Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ四维空间,并将〔Ｒ４,〔,简记为皿４．在伪内积的运算下,对于非零向量ｚ∈Ｒ４,当〔毛ｚ＞０,〔ｚ,ｚ；０或扛,ｚ＜０时,分别称向量ｚ为类空向量,类光向量或类时向量．对于任意的ｚ,∥∈Ｒ４,如果＜ｚ,Ｙ＞＝０,我们称ｚ和Ｙ是伪正交的．对于向量"∈Ｒ４和实数ｃ,我们定义一个以"为伪法向量的超平面：ＨＰ〔ｖ,ｃ＝｛ｚ∈酞｛ｌ〔ｚ,口＝ｃ．当"为类空向量,类光向量或类时向量时,分别称ＨＰ〔ｖ。

ｃ为类时超平面,类光超平面或类空超平面．定义三维ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ空间如下：ｓｆ＝〔￥∈ＲｉＩ扛,￡＝ｌ｝．对于任意的％ａ２,ａ３∈Ｒ４,定义向量ａｌＡａ２Ａａ３如下,.－ｅ１ｅ２ｅ３ｅ４.ｎｌ＾口２＾０３＝ｏｉ ａｉ ｎ｝研畦磋《霹.ｎ５碡ｏｉ《.其中｛ｅｌ,ｅ２,ｅ３,ｅ４｝为Ｒ｝的伪标准正交基,ａｉ＝〔咧１,ｎ｝,ａ｝,《．由定义易得ａｌＡａ２Ａａ３.伪正交于啦ａ＝１,２,３．设Ｘ：Ｕ—Ｒ４为浸入映射,其中Ｕ为Ｒｉ中的开子集,记Ｍ＝ｘ〔矿．则在嵌入映射ｘ意义下,可以将Ｍ与Ｕ等同．对任意的点ｐ∈Ｍ,如果Ⅳ在点Ｐ处的法空间％Ｍ是类空的,那么就称Ｍ是类时超曲砸．在此情况下,Ｍ在点Ｐ处的切空间弓Ｍ为类时超平面．设｛ｅＫｐ,ｅ２０,ｅ３〔ｐ｝为切空间易Ｍ的标准坐标架,ｅ４０为法空间％Ｍ的生成元,其中ｐ＝Ｘ〔ｕｌ,抛,ｕ３,ｅ１〔ｐ为类时向量,岛扫０＝２,３,４为类空向量,则｛ｅｌ∽,ｅ２∽,ｅｚ〔ｐ,ｅｄｐ｝显然是哦在Ｐ点处的伪标准坐标架．我们称映射Ｇ：Ｕ一研,Ｇ〔ｔ‘＝ｅ４ｐ为ｘ〔ｕ＝Ｍ在点Ｐ＝Ｘ〔ｕ处的ｄｅ ＳｉｔｔｅｒＧａｕｓｓ映射．３.设ｄＸ＝∑：１ｕｉ．ｅ／,ｄｅｌ＝∑；：ｌ㈨－ｅＪ,其中ｄ为外微分,ｕ｛２％＝６〔ｅｊ〔ｄｅｉ,勺为１－形式,〔ｅｉ,ｅｊ,＝‰,,誊６ｃｅ；,＝ｃ嗡,龟,＝｛：,,：：；：３,４,由于〔岛,ｅＪ＝如６〔唧．〔掘,ｅｊ＋〔ｅｉ,ｄ勺＝０,６〔％雌ｊ＋６〔屯岣产Ｏ．因此有ｗｉｊ＝一Ｊ〔岛Ｊ〔ｅＪ屿ｉ,特殊有〔ｄＸ,ｅｉ＝ｗ｜ｌ〔ｅｉ,ｅ１＝讪６〔吼,且２－形式护ｘ＝０,ｄ２ｅ／＝０,〔ｉ＝ｌ,２,３,４所以６〔ｅｄ〔ｄＸ,ｑ.出"＝６〔ｅ：〔ｄ２ｘ,ｑ一６〔ｅｉｄＸＡ崛.＝一６〔龟〔∑；：１ｗｊｅｊ Ａｄｅｉ.＝∑；：１一Ｊ〔岛〔屿呵Ａ哟ｅＪ＝∑；：１—８〔ｅｉ５〔ｅｉｗ．ｉ Ａ％＝∑；：ｌ ６慨６〔ｑ％Ａ哟,幽玎＝６〔ｅｊ〔ｄ２ｅｉ,ｅｊ一６〔ｅＪｄｅ｛Ａ ｄ呵＝一６〔ｅＪｄｅ；Ａ嘞＝一６＠〔∑：：ｌ Ｏ；ｉｋｅｋ Ａ∑ｉ：ｌ屿＾ｅｋ＝一６〔ｅｊｄ〔ｅｋ∑：＝ｌ—ｄ〔％６〔ｅｋｕ讪＾ｕ幻＝∑：：１吣々Ａ％．那么我们可以获得Ｃｏｄａｚｚｉ型方程ｔｆ ｄｗｉ；∑名ｌ ８〔ｅｉ￥〔ｅｊｗｉＪ＾吣,ｌ峨＝盛：ｌ魄＾％。

因为＜ｄｘ,ｅ４；０,所以坝＝０．故有.妣ｌＩ 一"札 ＾ ｕ ＋∑洋％＾屿１Ｉ呲＾ ｕ — ｕ孔 ＾吨一蛳 ＾ ｕＩｌＯ.４.根据ｃａｒｔ∞’８引理,存在函数０４ｊ＝％∈Ｃ"〔Ｍ,Ｒ〔ｔ,ｊ＝１,２,３,满足如下等式.０Ｊ１４２ ｎｌｌｕｌ ４－ａ１２Ｕ２＋ａ１３Ｗ３；０２４ ２ ａ２１Ｕｌ－＿｝－ａ２２ｕ２＋ａ２３ｕ３,ｕ３４２ ａ３１ｕｌ＋ａ３２ｕ２＋ａ３３ｕ３．.令〔ｄ２ｘ,ｅ４＝一＜ｄＸ,ｄｅ４,则舻Ｘ,ｅ４＝一〔ｄＸ,ｄｅ４＝一《∑笔１ｗｉｅｉ,∑名１"１４ｊ唧＝一和ｌｅｌ＋峨ｅ２＋ｗ３ｅ３,ｗ４１ｅｌ十ｕ４２ｅ２＋ｕ４３ｅ３；一｛〔ｕｌｅｌ,ｗ４１ｅ１＋"崆ｅ２,ｕ４２ｅ２＋＜ｕｓｅｓ,ｕ４３ｅ３｝＝－｛＜ｕｌｅｌ,〔〔２１１１１＋ａ１２ｗ２＋〔１１３ｗ３ｅ１一０２ｅ２,她１卅ｌ＋Ｇ２２ｕ２＋ａｚｓｕｓｅ２一〔ｕｓｅｓ,〔〔２３１",１＋ａ３２ｕ２＋０３３"乜ｅ２：８１ｌ碍＋２ａ１２ｕｌｗ２＋２〔￡１３ｗｉｕ３ ４－８２２遥＋２ｕ２３ｕ２Ｗ３＋〔／３３ｗ３２我们称〔ｄ２Ｘ,ｅ４＝ｎｕｕ｝＋２ａ１２"ｎｕ２＋２ａ１３ｕｌ叫３＋〔１２２ｕ２＋２ａ２３ｗ２ｕ３＋ｎ３３ｗ；为类时超曲面Ｍ的第二基本形式．对于ｅ４∈％尬有〔ｄｅ４,ｅ１＝〔ｕ４ｌｅｌ＋Ⅳ４２８２＋ｕ４３ｅ３,ｅ１＝－〔ａｌｌＷｌ＋Ｇ１２ｗ２＋ａ１３ｕ３,同理〔ｄｅ４,也＝〔ｗ４１ｅｌ＋ｗ４２ｅ２＋ｗ４３ｅ３,ｅ２＝一〔８２ｌ卅ｌ＋口２２ｕ２ ４－ｎ２３ｕ３,〔ｄｅ４,ｅ３＝和４ｌｅｌ＋Ｄ４２ｅ２＋ｏＪ４３ｅ３,ｅ３＝－－〔Ｇ３１Ｌ‘’ｌ＋０３２ｔＤ２＋ａ３３"３．所以有.〔ｄｅ４,ｅ１Ａ〔ｄｅ４,ｅ２Ａ《ｄｅ４,ｅ３＝￡ＬｏｕｌＡｕ２ Ａｗ３.ＩⅡｌｌｎＬ２ｎ１３.其中。