立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习).docx

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似， 应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S—ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面ASCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE丄AC.则动点P的轨迹与ASCD组成的解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G,连结EF、EG、FG、BD•设AC与BD的交点为O,连结SO, 则动点P的轨迹是ASCD的中位线FG.由正四棱锥可得SB丄AC, EF丄AC.又•:EG//SB:.EG 丄 AC:.AC丄平面EFG,•:PWFG, EG平面EFG,:.AC 丄 PE.另解：本题可用排除法快速求解.B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE丄AC； C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成n角，显然不满足PE丄AC； D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为 锐角，显然也不满足PE丄AC.评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式,它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设 计图形.不但考查了立体几何点线面之间的位置关系,而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法,是表现最为活跃 的一种创新题型.这类立体几何中的相关轨迹问题,如“线线垂直”问题,很在程度上是找与定直线垂直的平面, 而平面间的交线往往就是动点轨迹.【例2】 ⑴如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC「CR、DD「DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN〃平面B1BDD1.⑵ 正方体ABCD —A1B1C1D1中，P在侧面BCCQ及其边界上运动，且总保持APIBD1，则动点P的轨迹 是 线段B£ .⑶ 正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1, BC上的动点，且A1E=BF, P为EF的中点，则点 P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心).(4)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的侧面BCCQ上到点A距离为专的点的集合形成 一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度■—EC(1)C1(2)CCCC1C(4)C1(3) 「若将在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为呼的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为斗3的点【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB&C内一动点，若P 到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 (D )A. A直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线变式：若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的 距离之比为1： 2(或2： 1)”，贝y动点P的轨迹所在的曲线是椭圆一(双曲线).(2) (06北京)平面a的斜线AB交a于点B,过定点A的动直线l与AB垂直，且交a 于点C,则动点C的轨迹是(A )A. —条直线B. —个圆 C. 一个椭圆 D.双曲线的一支解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直 这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 A 与 AB 垂直所 有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面a的交线上，故选A.(3) 已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，且AM=|，点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则点P的轨迹为 抛物线. '(4) 已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为3,长为2的线段MN点一个端点M在 DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面n所围成的几何体的体积为—6--3BC【例4】(04重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到【例5】 四棱锥 P-ABCD, AD丄面 PAB, BC丄面 PAB，底面 ABCD 为梯形,AD=4，BC=8，AB=6，ZAPD= Z CPB， 满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )D.抛物线的一部分A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线分析：TAD丄面PAB, BC丄平面PAB:、ADIIBC 且 AD丄PA CB丄PBTZAPD=ZCPB : tanAPD=tanCPB.AD=CB…~PA =PB: PB=2PA在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(-3, 0)、B(3, 0),设 P(x, y)(#0)，则(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2](yt0)即(x+5)2+y2=16(y^0): P 的轨迹是 (B )立体几何中的轨迹问题（教师版）1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB］内有一点P到直线AB与到直线B&］的距离相等，则动点P所在曲线 的形状为（D）.A.线段 B. —段椭圆弧 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义.因为B1C1丄面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D.2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2： 1,则动 点P所在曲线的形状为（B）.A.线段 B. —段椭圆弧 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1： 2,则动 点P所在曲线的形状为（C）.A.线段 B. —段椭圆弧 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等 角，则点P的轨迹有可能是（A）.A.圆或圆的一部分 B.抛物线或其一部分 C.双曲线或其一部分 D.椭圆或其一部分简析 由条件易知:AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB^D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.5. 已知正方体ABCD - ABC D的棱长为a,定点M在棱AB上（但不在端点A，B 上）,点P是平面ABCD1 1 1 1内的动点，且点P到直线AD的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为（A）.11A 抛物线 B 双曲线 C 直线 D 圆简析 在正方体ABCD - ABCD中，过P作PF丄AD,过F作FE丄A.D.，垂足分别为F、E，1111 1 1连结PE.则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM=PF，故点P到直线AD与到点M的距离相 等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线.6. 在正方体ABCD - ABCD中，点P在侧面BCC.B,及其边界上运动，总有AP丄BD.，则动点P的轨迹为1 1 1 1 1 1 1简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD］丄面ACB1，所以满足BD1丄AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界 上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C .本题的解题基 本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.7.在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面A SCD内及其边界上运动，总有PE丄AC,则动点P 的轨迹为 答案 线段MN （M、N分别为SC、CD的中点）8 .若A、B为平面a的两个定点，点P在a夕卜，pb丄a，动点c （不同于A、B）在a内，且pc丄AC,则动 点 C 在平面内的轨迹是 （除去两点的圆）9.若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与A ABC 组成的图形可能是：（D）ACBD简析 动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在ZABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是, P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在ZABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D. 10.已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所 在的曲线是（B）.A. 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．2^3已知正方体ABCD - AiBiCiDi的棱长为］，在正方体的侧面BCC1B上到点A距离为亍的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度为 兀简析以B为圆心，半径为一且圆心角为一的圆弧，长度为=兀.32612. 已知长方体ABCD — ABC D中，AB二6, BC二3，段BD、A C上各有一点p、Q，PQ上有一点i i i i i iM,且PM = 2MQ，则M点轨迹图形的面积 .提示 轨迹的图形是一个平行四边形.13. 已知棱长为3的正方体ABCD — ABCD中，长为2的线段MN的一个端点在DD ］上运动，另一个端点1 1 1 1 1N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.简析 由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点 1 1 4 “ 兀P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的石，即$ Xg兀x 13=.8 8 3 614.已知平面a //平面卩，直线1 ua，点P e l，平面a、卩间的距离为4,则在卩内到点P的距离为5且到直9线1的距离为的点的轨迹是（）A. —个圆 B.两条平行直线 C.四个点 D.两个点简析：如图，设点P在平面卩内的射影是O,则OP是a、卩的公垂线，OP=4.在卩内 到点P的距离等于5的点到O的距离等于3,可知所求点的轨迹是卩内在以O为圆心，39为半径的圆上.又在卩内到直线1的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n它们到点O的距离都等于”（*）2-42 =乎 < 3，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C.16 .在四棱锥P - ABCD中，AD丄面PAB, BC丄面PAB,底面 ABCD为梯形，AD=4, BC=8, AB=6, ZAPD = ZCPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）。