【高中数学】第三章--3.3.33.3.4.docx

3．3.3　点到直线的距离3．3.4　两条平行直线间的距离[学习目标]　1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离．[知识链接]1．已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离|P1P2|＝.2. 如图，平面上点P到直线l的距离是指从点P到直线l的垂线段的长．[预习导引]1．点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.2．两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.要点一　点到直线的距离例1　求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.解　(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.(2)方法一　把方程y＝6写成0x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.方法二　因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.规律方法　1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．3．几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(2)点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.跟踪演练1　若点(a,2)到直线l：y＝x－3的距离是1，则a＝________.答案　5解析　直线l：y＝x－3可变形为x－y－3＝0.由点(a,2)到直线l的距离为1，得＝1，解得a＝5.要点二　两平行线间的距离例2　求两平行线l1：2x－y－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0之间的距离．解析　方法一　在直线l1：2x－y－1＝0上任取一点，不妨取点P(0，－1)则点P到直线l2：4x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.∴l1与l2间的距离为.方法二　将直线l2的方程化为：2x－y＋＝0.又l1的方程为：2x－y－1＝0，∴C1＝－1，C2＝，又A＝2，B＝－1，由两平行直线间的距离公式得：d＝＝.规律方法　1.针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两条平行直线间距离公式d＝.2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.跟踪演练2　求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．解　∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得＝3，解得b＝45或b＝－33.∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.要点三　距离公式的综合应用例3　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解　方法一　联立得交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴＝3，解得k＝，∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.方法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝.规律方法　1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条．一定要注意直线斜率是否存在．2．数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．跟踪演练3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．解　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以07 B．a<－3C．a>7或a<－3 D．a>7或－33，解得a>7或a<－3.4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m等于(　　)A．0或 B.或－6 C．－或 D．0或－答案　B解析　由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝或m＋＋3＝0，所以m＝或m＝－6.5．倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为__________________________．答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0解析　因为直线斜率为tan 60＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10.所以b＝10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．答案　2解析　|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离．d＝＝2.7．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程．解　由题意可知，直线l的斜率一定存在．又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.由点(2,1)到l的距离为1，得＝1.解得k＝0或k＝.∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0.二、能力提升8．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0答案　D解析　方法一　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝.∴C＝－6(舍)或C＝8.故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.方法二　令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.9．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是(　　)A．0