高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第04讲 集合的概念与运算.doc

第4讲 集合的概念与运算 本讲内容包括集合及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性）；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集）；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等交、并、补”是集合的三种运算它们的含义可以用“且、或、非”来理解这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若，则； 若，则；；；[I[I[I; [I[I[I.容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现实质是将整体计数问题转化为局部计数问题 我们将此类计数公式通称为容斥原理容”意指这些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉 通常以表示有限集合中元素的个数，参照Venn图可以得到如下计数公式: A类例题例1 已知数集，。

若，求实数的值分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同由集合中元素的互异性及无序性，集合中三个元素有且仅有一个为1椐此可求出，进而求出解 由，得 由集合中三个元素有且仅有一个为1，得，因此，所求实数为或例2 集合 的关系是 （ ）（1989年全国高中联赛）分析1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断解1 ，而可取任意整数，得集合表示4的倍数的集合，即所以，，应选分析2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系证明集合之间包含关系的一般方法是“若，则”；证明集合相等关系的一般方法是“若 则”解2 若所以应选例3 已知，1） 若，求实数的值；（2） 若，求实数的取值范围分析 首先应对题中的集合语言进行解读意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组的解集1）是求实数的值，使上述方程组有3解；（2）是求实数的取值范围，使上述方程组无解解 由 （*）当时，，原方程组无解；当时，，原方程组有两解；当时，，方程（*）有两个不等的实根。

由，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为0时，原方程组有3解；方程（*）两根均为负根时，原方程组无解由，经验算，时，原方程组有3解；由，即时，原方程组无解所以，若，实数 ； 若，实数的取值范围是或 情景再现 1．已知数集，求实数的值1999年第十届“希望杯”高一）2．若是单元素集合，则实数的值为 （ ） 不存在这样的实数（1990年江苏省数学竞赛）3．数集与数集之间的关系是 （ ）（1984年全国高考题） B类例题例4 设集合满足：， 若为已知集合，求集合分析 在研究集合之间的运算时，应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质 解1 由 设 或因为 ，得 ，即由 ，得又 所以，解2 由 ，所以， 例5 已知集合，，若，求实数的取值范围。

分析 由题意，两个一元二次方程和中，至少有一个方程有实数解采用直接方法是求两个方程有解集合的并集；或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集解1 由二次方程，得；由二次方程 ，得；由，得所求实数的取值范围是 解2 由解1，得由，得所求实数的取值范围是[R例6 不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有多少个？分析 若不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为则要求的是|[I|解 设不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为，则所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有 |[I|（个） 情景再现4．已知，，且 ，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围5．若非空集合，则能使成立的所有的集合是 （ ）（1998年全国高中数学联赛）6．某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有21人优秀，物理有19人优秀，化学有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有6个，数学和化学都优秀的有8个。

若该班有7人数学、物理、化学三科中没有一科优秀，试确定该班总人数的范围及仅数学一科优秀的人数的范围 C类例题 例7 设，，，，是平面内的点集，讨论是否存在 使得（1）；（2）同时成立1986年全国高考题）分析 首先应对题中的集合语言进行解读意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组有整数解；，则给出了的允许值范围解 集合可分别化简为，仅当且时，，方程组有解此时，原方程组的解为 由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数不存在 例8 一次会议有2005位数学家参加，每人至少有1337位合作者，求证：可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过分析 按题意，可以构造一种选法，找出符合条件的四位数学家解 由题意，可任选两位合作过的数学家，设与合作过的数学家的集合为，与合作过的数学家的集合为因此，在集合中，有数学家且不是从中选出数学家，并设与合作过的数学家的集合为于是， 因此，在集合中，有数学家且不是又可从中选出数学家则数学家，他们中每两人都合作过。

即原命题得证 情景再现7．设，，若集合是单元素集，则8．计算不超过120的合数及质数的个数习题41．已知集合， ， ，则集合的关系是 （ ）[来源:Zxxk.Com] 2．由 能够推出 （ ） （1985年上海数学竞赛）3．设R,若A不是B的真子集，则a的取值范围是 ( ) 4．已知，又，求实数的取值范围5． 设 ，且，求实数的取值范围 6． 设，求证：（1） 一切奇数属于；（2） 形如的数不属于；（3） 中任意两个数的积仍属于7． 设，则集合中被7除余2且不能被57整除的数的个数为__________1994年江苏省数学竞赛） [来源:学科网ZXXK]8．已知对任意实数，函数都有定义，且，如果集合不是空集，试证明是无限集1994年江苏省数学竞赛）9．设是坐标平面上的两个点集，，若对任何 都有，则必有。

此命题是否正确？ (1984年全国数学联赛)10．设 为满足下列条件的有理数集合：（1）若，则 ；（2）对任意一个有理数 ，三个关系有且仅有一个成立证明：是由全体正有理数组成的集合1972年奥地利数学竞赛）答案情景再现[来源:学科网ZXXK]1． 设，经检验符合题意； ，经检验不合题意； ，经检验符合题意 故所求的值为2． 集合表示不等式组 的解集当两个不等式的解集有共同的边界点，或者两个不等式的解集中，有一个是单元素集时，不等式组解集有可能为单元素集由此，不等式可化简为，当时 ，此不等式的解集为单元素集 3． 由与都表示全体奇数，所以，。

故应选4． ，1） 由 且 ，得3是集合的元素将3代入方程，得，解此方程得或经检验，所求实数的值为；（2） 由，又，所以集合为或 由（1），不可能当 则因此，所求实数的取值范围是5． 即所以，应选6． 设 {该班数学成绩优秀的学生} {该班物理成绩优秀的学生}{该班化学成绩优秀的学生} 则 由是的子集，得[来源:Zxxk.Com]因此， 所以，该班总人数的范围是 ； 仅数学一科优秀的人数的范围是 7． 若集合是单元素集，设即，则， 8． 不超过120的合数的质因数，因此不超过120的合数必定是质数2，3，5，7的倍数 设， ， ， ， [来源:Zxxk.Com]则 不超过120且是2，3，5，7的倍数共有所以，不超过120的合数共有（个）（除去四个质数）； 不超过120的质数共有（个）（1不是质数）习题41． 由，得又集合表示数集，表示点集，所以，2． 解1 设，则经验算，均不正确，所以，应选解2 由 ，所以，3． ， 若A是B的真子集，则 解得所以，若A不是B的真子集，则。

故应选4． 由题意，方程组 无解由方程组，得 所以实数的取值范围是5． ，当时，当时，当时，综上，所求实数的取值范围是 （1）奇数集合可表示为 （2） 因为与同为奇数或同为偶数，所以，或为，或为，不可能为形如的数故形如的数不属于 ；（3） 设，则， 所以，7． 设又，故当或9时，被7除余2所以，集合中被7除余2且不能被57整除的数的个数为（个）。