固体理论讲义二-声子.doc

1． 晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动-晶格振动晶体的元胞数为N，原子质量为M，原子的位置： 则代表此原子的位移晶格振动的总动能 总势能为 由于晶体的平移对称性 代表l’元胞中原子沿b方向移动单位距离时对l元胞中原子作用力沿a方向的分量，称为力常数 因为当整体作刚性运动（即每个原子均作）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即-------------------------略去F展开的三次方由正则方程 可得系统的运动方程 利用平移对称性及布洛赫定理 对于确定的k，运动方程的解表现出下列特征：（1） 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等2） 有特定的相位关系，按变化因此，每一确定的k的解代表波长为的集体振动，称为格波---------令对应于用波矢k标记的特解 -------3´3动力学矩阵，为实的厄米矩阵其对角化方程为 w为振动频率，由久期方程 可求出3个本征频率和本征向量 满足正交性和完备性条件 结合以上方程可知： 代表波矢为k、偏振为s、频率为的格波解在BZ中，一定时刻t的格波解称为简振膜根据正格矢与倒格矢之间的关系可得 动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ内讨论即可。

由于有N个不同的k，而每个k又对应3个本征值，因此有3N个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N维空间函数组晶格振动的一般解： 系数（包括因子）在固体物理学中称为简正坐标；代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢对于具有r个原子的复式晶格，本征频率 以上是晶格动力学的基本原理2.格波的特性1. 的共性i）格波的本征频率是倒点阵的周期函数 ii）具有点阵所属点群的全部对称性 iii）存在一个普遍的关系式 它是时间反演对称性的结果2.声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，ws=0特征的格波称为声学模光学模：反之，当k=0时的格波解称为光学模可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模因为：在复式晶格中，同时存在声学模和光学模对于元胞中有r个原子的复式晶格有本征方程 其中s,s’=1,…,r,代表元胞中不同的原子格波频率由下式决定： 同样，复式晶格的刚性位移不产生应力将代入本征方程可得如果某确定的s的解在长波限满足条件----------同向运动则本征方程变为由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动每个k值有3个独立的s解属于声学模。

在一般情况下，即其它（3r-3）个s解属于格波的光学模如果（s=1，2），当时G点的实极化矢量满足正交关系：设s为声学模，由于对声学模有 代入上式可得 由于3个声学模解的极化向量彼此正交因此，光学模满足条件 因此，光学模代表元胞的质心不动，元胞内原子的相对运动3. 格波频率的计算二维的正方晶格（i）S线（包含G、M点）横向声学模：极化矢量e与传播方向垂直；纵向声学模：极化矢量e与传播方向平行；（ii）D线（包含G、X点） 存在横向声学模和纵向声学模（iii）Z线（包含X、M点） 既非横波，也非纵波一维复式晶格既存在声学模，也存在光学模3. 简正坐标在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加表示其中是复简正坐标，由于为实量，则；那么若约定极化矢量满足关系式 则复简正坐标 对于动能晶格振动的势能其中那么 晶格振动的哈密顿可简化为 H在简正坐标中表示为3N个独立项之和；利用拉氏函数可求出Qks的共轭动量 根据正则方程 可求出简正坐标满足方程 与简谐振子的运动方程在形式上相同利用傅里叶变换显然简正坐标和其共轭动量均为集体坐标4.声子晶格振动必须用量子力学处理其量子化条件为共轭量满足对易关系（一次量子化）那么容易求得简正坐标的对易律：由于（P，Q）为复共轭量，因此，H哈米顿中并不对应量子力学中频率为的简谐振子哈密顿量，因为（p，q）为实量。

晶格振动的哈密顿可进一步写成： 为了消除H中k和-k的交叉项，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符（二次量子化）经计算可得哈密顿 对易关系为 （玻色对易关系）其时间依赖关系可利用海森堡运动方程 位移矢量可表示为h.c.代表厄米共轭项，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表频率、偏振沿k方向传播的格波，它所对应的哈密顿量是定态薛定谔方程 进一步可得 暂时略去（k，s） 下面讨论上面算符方程的基态和激发态（i）基态设基态为，有能量，采用狄拉克（Dirac）算符将算符a作用上式两边 得到另一个态满足 当时它比|0>具有更低的能量，显然与原假设矛盾，所以基态必须满足条件 上式即二次量子化表象中的基态定义由于，于是基态能为 它相当于振子的零点能ii）激发态称为激发一个格波量子的状态，称为第一激发态代表激发n个格波量子的状态，叫做第n激发态，用表示 其中cn由归一化条件决定格波能量总是以一份份地激发，这个量子称为声子激发了n个声子的w格波能量为 ，与谐振子的能量一致iii）递推关系是声子的产生算符，是声子的消灭算符；有特性 其本征值为n，代表声子数，因此，称为声子数算符。

另外 恢复脚标（k，s），那么 代表3N种不同的（k，s）的无互作用声子系统，而能量为------------声子是玻色子，N个原子（离子）的耦合振荡问题在简谐近似下约化为独立玻色子系统温度T时，格波（ks）所激发的平均声子数 ---------------T=0K时，声子数为0，称为声子真空声子并不是真实的粒子，不能脱离固体，可以产生和消灭，有相互作用时声子数不守恒5．长波方法（一）——声学模* 在多数问题中，长波长的声子起重要作用，为此，有必要讨论晶格动力学理论的长波极限（k®0）情况 由于声频支代表同一元胞中诸原子（基元）的质心运动，因此，复式晶格中的声学模也可当简单晶格处理 对长波长的晶格振动，晶体结构的原子性对问题影响不大，可用连续介质近似引入一个在空间缓变的位移场：代表r点附近小体元的位移；当（简记时，u就是l元胞中质心的运动 定义密度：求和与积分的变换：过渡到连续介质近似对于晶格振动的动能：对于势能项其中：--弹性系数--- 形变能密度考虑求解弹性问题，首先应考虑对称性最简单而又最常用的模型是把晶体看作弹性各向同性体，这时弹性能与取向无关由于位移场只可能有三种一阶导数；因此能保持上述旋转不变性的二次函数只可能是: 而代表晶体旋转，而不是应变，这一项不会出现在弹性能中。

弹性各向同性体的形变能密度应具有下列简单形式A，B与弹性系数的关系 长波仅是得动力学矩阵求得长波情况下的本征方程 对于弹性各向同性体 其矢量形式为 可以看出，它有一个纵波（），两个横波（）解横波的声速小于纵波的声速由于求本征方程时，已假定晶格波的形式解作下列对应： 由此可得弹性波方程（从本征方程） 当各向同性时 经变化可求得矢量表示式 这就是人们熟知的弹性波方程引入简正坐标 可得： 引入产生消灭算符--有一个纵波和两个横波位移场的变化与体积变化有关因此，只有纵波导致体积变化，LA声子对电子的互作用比TA声子更重要6．长波方法（二）——光学模在离子晶体中长波光学模代表元胞内正、负离子的反向运动，它伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响以下为黄昆的长波方法:设每个元胞只含有两个电荷量相等、符号相反的离子，基于连续介质模型：由于在长波限各正负离子的相对位移几乎一样，因此用一个矢量W描述光频振动： 光频支振动的动能密度 位能密度由两部分组成 其中 (这里P代表晶体的极化强度，E为宏观电场；显然正、负离子的相对位移导致极化并产生内场，这个场又反过来作用于离子影响它们运动，并且还使离子上电子相对于核位移产生电子极化) ?方程一： 第一项为离子位移极化，第二项与离子上电子的极化有关。

由此可得：其中是待定系数拉氏密度W的共轭量：因此哈密顿：利用正则方程：可导出光学模的运动方程方程二： 其中第一项代表弹性恢复力，是短程作用；第二项是极化所产生宏观内场对离子运动的作用力，它概括了长程作用长波方法的优点是用宏观内场代替对离子间的长程库仑力求和------------------利用黄昆方程可求出离子晶体中光学模横纵波的频率，并且诸系数可由常用的宏观测量值决定（高低频介电常数）1.介电常数考虑的平面波解，当时， 代入黄昆方程一二消去W后可得 根据：可求出e与w的关系式 称为介电函数介电函数在时有极点静态介电常数：高频介电常数：于是求得诸系数：介电函数可表示为： ?2. 横波及纵波振动方程在各向同性介质中，光学模可划分为纵波部分与横波部分，相应的矢量：黄昆方程二写为：当不存在外磁场时，，又由于，因此横振动方程变为： 横波的频率与介电函数的极点频率相等对于纵波，考虑到离子晶格中平均电荷密度为零，故，又由于；所以 代入黄昆方程一，可得 将上式代入黄昆方程二，可得纵波振动方程---------纵波和横波的关系 这是著名的LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系。

介电函数可进一步写为 由于，因此；为介电函数的零点频率，为极点频率当时，；这时电磁波只能在晶体边界上反射，而不能在介质中传播。