刘俊超课件三角形全等的判定.doc

第 1 页 共 13 页辅 导 讲 义教师 科目 数学 上课日期 总共学时学生 年级 九 上课时间 第几学时类别 基础 提高 培优三角形全等的判定学习重点：三角形全等的条件．学习难点：三角形全等的条件的探索．知识点：1．三角形全等的条件．2．了解三角形的稳定性．知识讲解：一、三角形全等的条件首先我们看只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？只给定一条边时(如图中的实线)由图可知：这三个三角形不全等．只给定一个角时夹角(如图中的实线)．由画图可知：这三个三角形也不全等．因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等．接下来我们探索：给出两个条件时，所画的三角形一定全等吗？（1）三角形的一个内角为 30°，一条边为 3 厘米（如图）．第 2 页 共 13 页这三个三角形不全等．（2）三角形的两个内角分别为 30°和 50°（如图）．它们看起来的形状一样，但大小不一样．这两个三角形不能重合，所以也不全等．（3）三角形的两条边分别为 4cm、6cm（如图）．它们也不全等．我们通过画图、观察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．那么给出三个条件时，又怎样呢？如果给出三个条件画三角形，有四种可能．即：三条边，三个角，两边一角和两角一边．下面我们来逐一探索．1．已知三角形的三个内角如果已知一个三角形的三个内角分别为 40°、60°、80°．能画出这个三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它们不一定重合（如图）．通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等．2．已知三角形的三条边如果已知一个三角形的三条边分别是 4cm，5cm 和 7cm．画出这个三角形如图．第 3 页 共 13 页比较可知：这样的所有三角形都是全等的．由此可知：已知三角形的三边，则画出的所有三角形都全等．这样就得到了三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等．简写为：“边边边”或“SSS”．如下图．这是用符号语言来表示该三角形全等的条件．注意：三边对应相等是前提条件，三角形全等是结论．3．已知三角形的“两角一边”如果“两角一边”条件中的边是两角所夹的边．如：三角形的两个内角分别是 60°和 80°，它们所夹的边为 2cm，我们来画出这个三角形（如图）．经过比较，它们全等．也就是说已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的．由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．第 4 页 共 13 页简写为：“角边角”或“ASA”．如图，在△ABC 和△DEF 中．在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有两角及一角的对边．如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为 60°和 45°，一边长为 3cm（如图）．已知两角及一角的对边画三角形时，不容易画，但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时，就可以了．因为三角形的内角和为 180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”．（1）如果 60°角所对的边为 3cm 时，画出的图形如下：经比较：这样得到的三角形都全等．（2）如果 45°角所对的边为 3cm 时，画出的图形如下．经比较：这样条件的所有三角形都全等．由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．第 5 页 共 13 页如图．在△ABC 和△DEF 中．4．已知三角形的两边及一角如果已知一个三角形的两边及一角，有两种情况：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角．先看第一种情况下，两个三角形是否全等．如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角．如：三角形的两条边分别为2.5cm、3.5cm．它们的夹角为 40°（如图）．经过比较，如果已知三角形的两边及其夹角，那么所得的三角形都全等．由此我们得到了三角形全等的条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简称“边角边”或“SAS”．如图，在△ABC 和△DEF 中．第 6 页 共 13 页接下来我们研究第二种情况．如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角．如：两条边分别为2.5cm、3.5cm．长度为 2.5cm 的边所对的角为 40°（如图）．按 上 述 条 件 画 的 三 角 形 不 唯 一 ， 存 在 不 同 的 三 角 形 满 足 上 述 条 件 ， 如 图 ．由图可知：这两个三角形不全等．所 以 ， 两 边 及 其 中 一 边 的 对 角 对 应 相 等 ， 两 个 三 角 形 不 一 定 全 等 ．因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．二、三角形的稳定性如果我们取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？图(1)是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的．如：房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固和稳定．图(2)的形状是可以改变的，它不具有稳定性．那么要使图(2)的框架不能活动，在相对的顶点上钉一根木条，使它变为两个三角形框架即可．在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑．就是用到了它的稳定性．第 7 页 共 13 页小结：通过上表可以看出，两个三角形全等至少要有三个条件对应相等；我们常用来解决两个三角形是否全等的依据主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”．第 8 页 共 13 页AB CDE课堂练习考点一：全等及性质 （2010 北京顺义中考）如图， AB＝ AC，点 D 是 BC 的中点， AB 平分∠ DAE， AE⊥ BE，垂足为 E．求证： AD＝ AE．证明：∵AB=AC，点 D 是 BC 的中点，∴∠ADB=90°，∵AE⊥EB，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB 平分∠DAE，∴∠1=∠2；在△ADB 和△AEB 中， ，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE．变式训练（2008 宜昌中考）如图，在△ ABC 与△ ABD 中， BC＝ BD．设点 E 是 BC 的中点，点 F 是 BD 的中点．（1）请你在图中作出点 E 和点 F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）（2）连接 AE， AF．若∠ ABC＝∠ ABD，请你证明△ABE≌△ ABF．解：(1)能看到“分别以 B， C 为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点 M、 N，(1 分)连接 MN，交 BC 于 E”的痕迹，(2 分)能看到用同样的方法“作出另一点 F(或以 B 为圆心， BE 为半径画弧交 BD 于点 F)”的痕迹.(3 分)(凡正确作出点 E,F 中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置DABC第 9 页 共 13 页即可评 3 分)(2)∵ BC＝ BD， E， F 分别是 BC， BD 的中点，∴ BE＝ BF，(4 分)∵ AB＝ AB，∠ ABC＝∠ ABD,(5 分)∴△ ABE≌△ ABF.(6 分)考点二：全等的判定（2010 苏州中考）．如图，C 是线段 AB 的中点，CD 平分∠ACE，CE 平分∠BCD，CD=CE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．【分析】根据 SAS 判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质求出 与 的度数，结合三角形的内角和13及平角的意义求出所要求的角.【答案】(1)∵点 是线段 的中点，CAB∴ ，AB又∵ 平分 ， 平分 ，DECD∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3.在 和 中，CBA31∴ ≌ .CDE(2)解：∴∠1+∠2+∠3=180°,∴∠1=∠2=∠3=60°.∵ ≌ .AB∴ 50°,ED∴ .180370第 10 页 共 13 页变式训练（2006 莱芜）两个全等的含 30°，60°角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置，E，A，C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME，MC．试判断△EMC 的形状，并说明理由．解：△EMC 是等腰直角三角形．理由如下：连接 MA．∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC，∴△DAB 是等腰直角三角形，又 M 为 BD 的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），AM= BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）21∴∠EDM=∠MAC=105°，在△MDE 和△CAM 中，ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．∴△MEC 是等腰直角三角形．第 11 页 共 13 页考点三：全等知识的综合应用（2010 重庆潼南中考）(10 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求 EF 的长.解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB=AD在△ABE 和△DAF 中3412DAB∴△ABE≌△DAF-----------------------4 分（2）∵四边形 ABCD 是正方形∴∠1+∠4=90 0∵∠3=∠4∴∠1+∠3=90 0∴∠AFD=90 0----------------------------6 分在正方形 ABCD 中， AD∥BC∴∠1=∠AGB=30 0在 Rt△ADF 中，∠AFD=90 0 AD=2 ∴AF= DF =1----------------------------------------8 分3由(1)得△ABE≌△ADF∴AE=DF=1ACBDEFG1423题 图4第 12 页 共 13 页∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10 分13变式训练（2010 百色中考）（本题满分 8 分）如图：在等腰梯形 ABCD 中，AD∥ BC，对角线 AC、 BD 相交于 O．（1）图中共有 对全等三角形； （2）写出你认为全等的一对三角形，并证明． 【课堂小结】1、全等三角形的概念及其性质1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。

2）全等三角形性质：（1） 对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等2.全等三角形的判定 方法1）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )2）两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )4）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L )【达标测试】1. （2011•江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）A、AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDAA DOCB第 13 页 共 13 页2. （2011 安徽省芜湖市，6,4 分）如图，已知△ ABC 中，∠ ABC=45°， F 是高 AD 和 BE 的交点， CD=4，则线段 DF 的长度为（　　）A、 B、42C、 D、323. （2011 湖北十堰，6，3 分）工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，∠AOB。