绘制根轨迹图基本规则.ppt

Principle of Automatic Control Institute of Control and Information自动控制原理自动控制原理(频域分析部分频域分析部分)肖刚肖刚1Principle of Automatic Control Institute of Control and Information第四章 根轨迹法u4－1 闭环系统的根轨迹u4－2 绘制根轨迹图的基本规则u4－3 控制系统性能的根轨迹分析2Principle of Automatic Control Institute of Control and Information（（1））寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹；（（2））根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K1值以开环根迹增益以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则：为参变量绘制根轨迹的一些基本规则：1. 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 起点（ ）： 起始于开环传递函数的极点； 终点（ ）：终止于开环传递函数的零点包括m个 有限远的零点（简称有限零点）和(n-m) 个无限远的零点(简称无限零点)。

当 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终 点，即由开环的极点移向开环的零点4-2 绘制根轨迹的规则3Principle of Automatic Control Institute of Control and Information起点：起点： 因为当 时， 说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点4-2 绘制根轨迹的规则4Principle of Automatic Control Institute of Control and Information终点：终点：（1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点当 时， 我们把这m个零点称之为系统的有限零点2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点当 时，上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处我们把无穷远处的零点称之为无限零点 4-2 绘制根轨迹的规则5Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 综上所述：综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点。

每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点2、根轨迹的分支数、根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环的极点数 我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由前面 的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点所有的根轨迹都是有头有尾 、有始有终所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数4-2 绘制根轨迹的规则6Principle of Automatic Control Institute of Control and Information3、根轨迹的对称性、根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴 特征方程的根或为实数，或为复数必对称于实轴4、根轨迹的渐近线（、根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨迹特征）处的根轨迹特征） 渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点 渐近线于实轴的夹角： (k=0,1,2……) 渐近线与实轴的交点：4-2 绘制根轨迹的规则7Principle of Automatic Control Institute of Control and Information（（1）根轨迹渐近线的倾角）根轨迹渐近线的倾角根据幅角条件：当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角： 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。

4-2 绘制根轨迹的规则8Principle of Automatic Control Institute of Control and Information（（2）渐近线与实轴的交点）渐近线与实轴的交点幅值条件：当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成：上式左边展开： 上式右边展开比较对应s幂项系数相等，求得：所以渐近线相交于同一点 4-2 绘制根轨迹的规则9Principle of Automatic Control Institute of Control and Information五、根轨迹在实轴上的分布五、根轨迹在实轴上的分布 实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数在s=0与s=-z1之间的实轴上任取一个试验点s1加以说明 4-2 绘制根轨迹的规则10Principle of Automatic Control Institute of Control and Information例：例： 已知：已知：试画出根轨迹的大致图形。

解：按根轨迹绘制的规则：（1）起点：0，-1，-2； 终点：∞，∞，∞2）分支数： n=3（3）根轨迹对称于实轴4）渐近线：因为本系统中， ，所以渐近线共 有3条渐近线的倾角： 取k＝0，1，2，得到：4-2 绘制根轨迹的规则11Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：（（5）根轨迹在实轴上的分布：）根轨迹在实轴上的分布： 0~-1，，-2~-∞之间4-2 绘制根轨迹的规则12Principle of Automatic Control Institute of Control and Information6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点、根轨迹在实轴上的分离点与会合点分离点或会合点的必要条件： 式中 4-2 绘制根轨迹图的基本规则13Principle of Automatic Control Institute of Control and Information设系统的开环传递函数4-2 绘制根轨迹图的基本规则14Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。

即根轨迹上的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应若为二重根，必同时满足 和 因此求得：消去 ，可得到：便于忘记，上式又可写成： 或 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）4-2 绘制根轨迹图的基本规则15Principle of Automatic Control Institute of Control and Information例例: 设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点解：解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故舍去； s2代入，求得K＞0 所以s2会合点舍去) 4-2 绘制根轨迹图的基本规则16Principle of Automatic Control Institute of Control and Information检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。

一般来说一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则个分离点(会合点) 如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点4-2 绘制根轨迹图的基本规则17Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 四重分离点 复数分离点4-2 绘制根轨迹图的基本规则18Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 另外两种表达形式： (1) 因为令 , 即得到4-2 绘制根轨迹图的基本规则19Principle of Automatic Control Institute of Control and Information仍以上例说明仍以上例说明:因为令求得(舍去) 4-2 绘制根轨迹图的基本规则20Principle of Automatic Control Institute of Control and Information(2) 因为即其中即所以-4-2 绘制根轨迹图的基本规则21Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 仍以上例说明: 因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。

对于采用上述三种方法，所得结果完全一致由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定要检验，舍去K＜0所对应的值 （舍去） 4-2 绘制根轨迹图的基本规则22Principle of Automatic Control Institute of Control and Information复杂情况用试探法复杂情况用试探法在-2-3之间存在一个分离点所以分离点的位置为 4-2 绘制根轨迹图的基本规则23Principle of Automatic Control Institute of Control and Information7、根轨迹的出射角与入射角、根轨迹的出射角与入射角 若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为 ，则 （各零点 到的向量幅角 之和） （其它各极点到 的向量幅角 之和）若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和) (其它各零点到 的向量幅角 之和) 4-2 绘制根轨迹图的基本规则24Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 出射角(或入射角)是指根轨迹离开复极点 (或终止复零点)处切线的倾角。

在根轨迹曲线上取试验点s1，与复极点-pa的距离为 当 时，可近似地认为s1在切线上，切线的倾角就等于复极点的出射角所以 的出射角: 4-2 绘制根轨迹图的基本规则25Principle of Automatic Control Institute of Control and Information8. 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值工作在此点时，系统处于临界稳定状态介绍常用的三种方法1) 利用特征方程求取用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K12) 利用劳斯阵列求取将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助 方程求得若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得3) 利用试探法求取先给出根轨迹的大致图形，根据经验 选择满足幅角条件的试探点求出 ，再利用幅值条件确 定交点处的K1值4-2 绘制根轨迹图的基本规则26Principle of Automatic Control Institute of Control and Information例例 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图解：解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：4个无限零点(1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。

渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： (2) 实轴上的根轨迹：0  -34-2 绘制根轨迹图的基本规则27Principle of Automatic Control Institute of Control and Information(3)分离点：利用试探法求得(4)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、 -p2、 -p4到-p3的幅角分别 、 、 .所以同理不难求得极点-p4处的出射角：(5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：4-2 绘制根轨迹图的基本规则28Principle of Automatic Control Institute of Control and Information实部方程： 虚部方程： 解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列令s1行首项为零，即求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程(舍去)4-2 绘制根轨迹图的基本规则29Principle of Automatic Control Institute of Control and Information9. 根轨迹的走向根轨迹的走向 当n-m≥2满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。

开环传递函数：特征方程： 当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把称之为极点的“重心”4-2 绘制根轨迹图的基本规则30Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 当K1变化时，极点的重心保持不变所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动.例4-2 绘制根轨迹图的基本规则31Principle of Automatic Control Institute of Control and Information10. 根轨迹上根轨迹上K1值的计算值的计算根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定即 = 4-2 绘制根轨迹图的基本规则32Principle of Automatic Control Institute of Control and Information绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则序内容规 则 1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（nm）3对称性对称于实轴4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为： 倾角为：5实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数33Principle of Automatic Control Institute of Control and Information绘制根轨迹图的十条规则绘制根轨迹图的十条规则序内容规 则 6分离（回合）点实轴上的分离（会合）点——（必要条件）7出射角入射角复极点处的出射角： 复零点处的入射角：8虚轴交点（1）满足特征方程 的 值；（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；9走向当 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。

10K1计算 根轨迹上任一点处的K1：34Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 例例: 系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定 时K1的值 解：解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析 (1) 渐近线：3条 渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点：（2）分离点： 即 （舍去）4-2 绘制根轨迹图的基本规则35Principle of Automatic Control Institute of Control and Information（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令 代入，求得 实部方程: 虚部方程：解得： (舍去)（4）确定 时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A， 使得 ， 测量得:求得4-2 绘制根轨迹图的基本规则36Principle of Automatic Control Institute of Control and InformationA点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1=44.5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。

5-2 绘制根轨迹图的基本规则37Principle of Automatic Control Institute of Control and Information习题4-2 绘制根轨迹图的基本规则38。