第五章线性参数的最小二乘法处理.ppt

5-1,第5章 线性参数的最小二乘法,,5-2,最小二乘法（least square method）,1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”，确定了慧星的轨道和地球子午线段1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性经典最小二乘法（即代数最小二乘法）,,现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）,,5-3,线性参数的最小二乘法,第一节 最小二乘法原理 第二节 正规方程 第三节 精度估计 第四节 组合测量的最小二乘 法处理,,,,,5-4,大纲要求,掌握最小二乘原理掌握正规方程掌握最小二乘精度估计方法5-5,第一节　最小二乘法原理,最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题求标准米尺线膨胀系数,设有一金属尺，在温度t时长度可表示为yt=y0（1+t），其中，y0为温度零度时的精确长度为金属材料的线膨胀系数，求y0与的数值,一、最小二乘法原理,5-6,求标准米尺线膨胀系数,设在t1，t2，t3……….tn温度条件下分别测得金属尺的长度l1，l2，l3 ………. ln共n个结果，可列出方程组,,（1）    当n2，方程组无解。

最小二乘法,,y0与最可信赖 值,？,一、最小二乘法原理,5-7,第一节　最小二乘法原理,,,,为确定t个不可直接测量的末知量 的估计量 ，可对与该t个末知量有函数关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据 （n>t）并设有如下函数关系：,,,设直接测量量 的估计量分别为,,（5-1）,（5-2）,一、最小二乘法原理,5-8,测量数据 的残差为：,,v1= l1-y1v2= l2-y2…. ….. （5-3）vn= ln-yn,即,（5-4）,残差方程式（误差方程式）,,,若测量数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为,,则各测量结果 出现于相应真值附近 区域内的概率分别为：,,一、最小二乘法原理,5-9,各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率应为：,最可信赖值满足,一、最小二乘法原理,,,,,等精度测量 ：,,最小二乘原理的代数形式,5-10,必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。

实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则一、最小二乘法原理,5-11,二、线性参数的最小二乘法处理,线性参数的测量方程的一般形式：,,相应的估计值,,其误差方程：,,Y为直接测量量的真值矩阵；X为待求量的真值矩阵直接测量量的估计值矩阵5-12,二、线性参数的最小二乘法处理,,,,线性参数的最小二乘原理的矩阵形式,,实测值矩阵,,估计值矩阵,,残差矩阵,,误差方程系数矩阵,误差方程的矩阵形式,,5-13,二、线性参数的最小二乘法处理,,,,线性参数的最小二乘原理的矩阵形式,,,,,误差方程的矩阵形式,,,,,其中：,5-14,二、线性参数的最小二乘法处理,,,,,,,,,线性参数的不等精度测量转化为等精度的形式：,,,,,,5-15,误差方程,正规方程（法方程）,,最小二乘法,,(方程数n>末知数个数t),(n=t),,求解线性方程组,,,求极值的方法,线性参数的最小二乘法处理程序,5-16,第二节、正规方程,一、等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略）四、最小二乘法与算术平均值的关系,5-17,最小二乘法原理式,求导,正规方程组矩阵形式,正规方程组解,,,一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程,,,且,正规方程组代数形式：5-19，20,,引入矩阵,5-18,的数学期望为：,,,可见 为X的无偏估计。

5-19,由最小二乘法求最佳解,系数矩阵A--------误差方程，（测量方程） 测量值矩阵L------直接测得,,,例题 5-1,X 的最佳估计值,5-20,最小二乘法原理式,求导,正规方程组矩阵形式,正规方程组解,,二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程,,,正规方程组代数形式：5-25、25’,,引入矩阵,,,,5-21,的数学期望为：,,,可见 为X的无偏估计5-22,由最小二乘法求最佳解,系数矩阵A--------误差方程，（测量方程）测量值矩阵L------直接测得 权矩阵P,,,例题 5-2,X 的最佳估计值,5-23,四、最小二乘法与算术平均值的关系,为确定一个量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得到n个数据 ,相应的权分别为 最佳估计值,,,,,运用最小二乘法求,,5-24,误差方程：,,系数矩阵,权矩阵：,,实测值矩阵,,,5-25,对等精度测量：,,与前面结果一致此式与等精度测量时算术平均值原理给出的结果相同，由此可见，最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可以看作是最小二乘法的特例。

5-26,第三节精度估计,一、直接测量数据 的精度估计,二、最小二乘估计量 的精度估计,,,5-27,1、 等精度测量数据的精度估计,一、直接测量数据 的精度估计,当t=1时？,对包含t个末知量的线性参数Y( )进行n次等精度测量得 ，其残差,则测量数据 的标准差的估计量为,5-28,2、 不等精度测量数据的精度估计,一、直接测量数据 的精度估计,测量数据的单位权标准差,当t=1时？,5-29,直接测量量的标准差,,,对角元素,,不定系数,二、最小二乘估计量 的精度估计,1、等精度测量时估计量的精度估计,,,5-30,单位权的标准差,,,对角元素,,不定系数,二、最小二乘估计量 的精度估计,2、不等精度测量估计量的精度估计,,,,5-31,第四节组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理,,5-32,组合测量基本概念,组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量（一般是等精度测量），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计值，并给出其精度估计。

通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，他是最小二乘法在精密测试中的一种重要应用t个被测量,n个误差方程式,求解,,n种组合,测得,,,最小二乘法,5-33,组合测量基本概念,如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量,测得值,误差方程,待求量,为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目,,,,,,,5-34,组合测量基本概念,优点：精度较高组合形式越多（n越大），测量结果的精度就越高缺点：工作量大,应用：在精密测量工作中有十分重要的地位，如标准器的检定5-35,【例题】,要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离　　　　已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量试用最小二乘法求　　　　及其标准偏差5-36,计算步骤,【解】,列出测量残差方程组,5-37,解出,,,,,,即,计算结果,5-38,代入残差方程组可得,,,测量数据的标准差,,估计的标准差,估计量的标准差 P118,。