八年级数学下册 16_3 可化为一元一次方程的分式方程 分式方程的解法及其典例分析素材 （新版）华东师大版.doc

镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作分式方程的解法及其典例分析一、内容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即 分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根所以，必须验根产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．用去分母法解分式方程的一般步骤： 　　(i)去分母，将分式方程转化为整式方程； 　　(ii)解所得的整式方程； 　　(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤： 　　(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 　　(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 　　(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； 　　(iv)检验做答．注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤二、例题精析：例1．解分式方程：分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2) 　　整理后，得x2+4x=0 　　解这个方程，得x1=0, x2=-4, 　　代入公分母检验： 　　当x1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴ x=0是增根； 　　当x2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴ x=-4是原方程的根 　　故原方程的根是x=-4例2．解方程：分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简解： 　　即， 　　移项，整理，得 ， 　　即， 　亦即， 　　去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.　　经检验，x=7是原方程的根。

　　∴ 原方程的根是x=7例3．解方程解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得 　　(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5) 　　即4x+14=0,　∴， 经检验知是原方程的解解法2：方程两边分别通分，得 　　， 　　即　， ∴ (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形 　　原方程可化为 　　即：， 　　两边分别通分，得，解之，得 例4．解方程解：设， 则原方程变形为y2-5y+6=0, 解得y1=2, y2=3, 　　由，解得x1=4; 　由，解得x2=3. 　　经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根例5．用换元法解方程.解：设2x2+3x=y，于是原方程变为，整理，得y2-4y-5=0 　　解得y1=5, y2=-1. 　　当y=5时，即2x2+3x=5, 　　解得x1=1, , 　　当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, , 　　经检验，x1=1, , x3=-1, 都是原方程的根。

　　∴ 原方程的根为x1=1, , x3=-1, 例6．解方程分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解解：设，所以原方程变形为：, 　　整理得：y2-7y+10=0 　　解得y1=2, y2=5， 　　当y1=2时，即， ∴x1=0, x2=2; 　　当y2=5时，， 即x2-5x+9=0 （Δ<0，此方程无实根） 　　经检验，x1=0, x2=2是原方程的解例7．解方程.分析：此方程初看起来容易把，视为，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程解：原方程可化为 　　即,　　设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0 解得y1=-1, y2=, 　　当y=-1时，, 去分母整理，得x2+x+1=0 　　解这个方程，∵Δ<0, ∴ 方程无解 　　当y=时，, 去分母整理，得2x2-5x+2=0 解得x1=2, , 　　经检验，x1=2, 都是原方程的根 　　∴ 原方程的根是x1=2, （注意：切勿把看作 ）例8．若分式方程有增根x=2，求a的值分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，　　得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。

解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 　　把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-, ∴当 a=-时, x=2是原分式方程的增根按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任党组织书记是第一责任人。