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第三节第三节 微分微分一、微分的概念一、微分的概念三、微分的基本公式与法则三、微分的基本公式与法则四、一阶微分形式不变性四、一阶微分形式不变性二、微分与导数的关系二、微分与导数的关系2021/8/21一、微分的概念一、微分的概念1．面积改变量的大小．面积改变量的大小　　 一块正方形金属薄片受温度变化的影响时一块正方形金属薄片受温度变化的影响时, ,其边长由其边长由 变化到变化到 , ,问此薄片的面积改变了多少问此薄片的面积改变了多少? ?2021/8/222. 自由落体运动路程的改变量自由落体运动路程的改变量自由落体路程自由落体路程 与时间与时间 的关系是的关系是当时间由当时间由 变到时变到时 ,路程路程 有相应的改变量有相应的改变量2021/8/23面积改变量面积改变量路程改变量路程改变量共性共性 函数改变量函数改变量 问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有函是否所有函数的改变量都有数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?既容易计算既容易计算又是较好的又是较好的近似值近似值2021/8/24 定义定义2-2 设函数设函数 在某区间内有定义在某区间内有定义, , 及及 在这区间内在这区间内, ,如果函数的增量可表示为如果函数的增量可表示为其其 是不依赖于是不依赖于 的常数的常数, ,而而 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小, ,那么称函数那么称函数 在点在点 是可微的是可微的, , 叫做函数叫做函数 在点在点 相应于自变量增量相应于自变量增量 的微分的微分, ,记作记作 , ,即即 函数函数 在任意点在任意点 处的微分处的微分,称为函数的微分称为函数的微分,记为记为 或或2021/8/25由定义知由定义知: :2021/8/26MNT） P 微分的几何意义微分的几何意义2021/8/27证明证明 (1) 必要性必要性即即:二、微分与导数的关系二、微分与导数的关系2021/8/28(2) 充分性充分性即即2021/8/29解解例例2-292-292021/8/210基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三、三、微分的基本公式与法则微分的基本公式与法则2021/8/211函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2021/8/212解解解解例例2-302-30例例2-312-312021/8/213结论结论：：微分形式的不变性微分形式的不变性四、一阶微分形式不变性四、一阶微分形式不变性2021/8/214解解例例2-322-32例例2-332-33解解2021/8/215主要内容主要内容微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义: 切线纵坐标的改变量切线纵坐标的改变量可导与可微的关系可导与可微的关系: 可导可导 可微可微微分公式微分公式一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性2021/8/216部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！。