锐角三角函数.doc

锐角三角函数的应用【知识回顾】1．请把三个三角函数公式写出来；2．几组特殊角的三角函数值分别是多少？【新课引入】一、仰角、俯角的定义 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠2就是仰角，∠1就是俯角．二、坡角、坡度的定义坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝，坡度通常用1:m的形式，例如上图的1:2的形式坡面与水平面的夹角叫做坡角从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡总结归纳】在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型：通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别运用三角函数的知识进行解答精选例题】（一）仰角与俯角例1 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）解析：1、由题目可知道，气球的高度就是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m．2、假设CD为h m，BD为x m，在Rt△ADC和Rt△BDC利用正弦列出两个方程求出.解答：设CD为h m，BD为x m， 在Rt△ADC中， ① 在Rt△BDC中， ② 整理①、②得方程：（x+50）=x 解得：h=x=≈68.31 68.31+1.6=69.91 答：气球的高度约为69.91米。

前思后想：此题是在两个直角三角形中，运用三角函数列出边角关系，设两个未知数列两个方程求解的但是它也可以设一个未知数，在两个直角三角形中，运用边角关系（三角函数）分别把AD、BD用含h的代数式表示出来，代入等量关系：AD—BD=AB，得到一个方程，进行求解例2 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．　　（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角，在点和塔之间选择一点，测出看塔顶（M）的仰角=45°，然后用皮尺量出、两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan35°≈0.7，结果保留整数）．BCＡNMβD图1ＰNM图2（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为am（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是： ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ．解析：（1）设CD的延长线交MN于E点，MN长为x，根据题意构造直角三角形，利用其公共边构造方程求解．（2）根据题目中的情景，结合解三角形的知识设计测量方法．解答：（1）设CD的延长线交MN于E点，MN长为x，则ME=x-1.6．∵β=45°，∴DE=ME=x-1.6．∴CE=x-1.6+18.6=x+17．∵=tanα=tan35°，∴=0.7，解得x=45．∴太子灵踪塔（MN）的高度为45m．（2）①测角仪、皮尺；②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度．前思后想：该题是一道关于测量的操作实验题，它一共告诉我们两种测量方法：①当AN的长度不能测量时，采用在A、B两点处进行测量，在两个直角三角形中，运用边角关系列出方程进行求解；②当AN的长度能够测量时，采用在A点一处进行测量，在一个直角三角形中，运用边角关系直接求解。

牛刀小试：CAB1．在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）2．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为60 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）ABCD6米52°35°3．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为__________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)30°60°BADC海面4．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据：，，）答案：1．作DF⊥AB于F点．在Rt△DEF中，设EF=x，则DF=x．在Rt△ADF中，tan50°=≈1.20，∴30+x=×1.20，x≈27.8，∴DF=x≈48．答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的．2．如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．根据题意，可得∠BAD=60°，∠CAD=30°，AD=60在Rt△ADB中，BD=AD×tan60°=60，在Rt△ADC中，CD=AD×tan30°=20，∴BC=CD+BD=60+20=80≈138.4．答：这栋楼高约为138.4m．3．根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．则有BC=BD-CD=6（1.28-0.70）=3.5（米）．4．由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB=4000（米），∠BAC=30°，∠EBC=60°，∵∠BCA=∠EBC—∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=4000（米）．在Rt△BEC中，EC=BC•sin60°=4000×=2000（米）．∴CF=CE+BF=2000+500≈3964（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为3964米．（二）坡度与坡比例3 如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度． 解析：如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，BC=BE—CE，即可得出结果．解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC=10，由坡比为1：可知：∠CAE=30°，∴CE=AC•sin30°=10×=5，AE=AC•cos30°=10×=5．在Rt△ABE中，BE===11．∵BE=BC+CE，∴BC=BE-CE=11-5=6（米）．答：旗杆的高度为6米．前思后想：本题是由“坡度i=tanCAD=1：”求出∠CAE=30° ，再分别在Rt△AEC和Rt△AEB中运用边角关系和三边关系求解的。

例4 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i′=1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD的长为多少？解析：应把所求的HD进行合理分割=HN+NF+FD，可利用Rt△MHN和Rt△EFD中的三角函数来做．解答：∵BG=3.2m，∴加高后MN=EF=5.2m，ME=NF=6m，在Rt△HMN和Rt△DEF中， =， =，∴HN=2.5MN=13m，DF=2EF=10.4m，HD=13+6+10.4=29.4m．答：加高后的坝底HD的长为29.4m前思后想：此题严格按照“坡度i=”，在两个直角三角形中列式计算的，它把梯形分割成了两个直角三角形和一个矩形牛刀小试：1．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度 2．城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2m的人行道．试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域．）（≈1.732，≈1.414）3．同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2米，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4米．（1）求滑梯AB的长（精确到0.1米）；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°，属于安全．通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？4．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m 的一堤段（原海堤的横断面如图中的梯形ABCD）的堤面加宽1.6m，背水坡度由原来的1:1改成1:2，已知原背水坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字.（注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值；提供数据:）答案：1．如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线与点E．∵∠DCE=30°，CD=8，∴CE=CD•cos∠DCE=8×=4，∴DE=4，设AB=x，EF=y，∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，∴=，即=…①，∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，=…②，①、②联立，解得x=14+2（米）．故答案为：14+2．2．如图：作CM⊥AB于点M，则MBFC为矩形．∴BM=CF=2，BF=CM∵背水坡CD的坡度为i=2：1，∴=，∴DF=CF=1．∴CM=BF=BD+DF=14+1=15．在Rt△AMC中，∵tan∠ACM=，∴AM=CM•tan∠ACM=15•tan30°=15×=5．∴AB=AM+BM=5+2≈10.66（m）．而BE=BD-DE=14-2=12（m）．∴AB＜BE．故不需封闭人行道DE．3．（1）由题意AB==2≈4.5m，因此滑梯的长约为4.5m．（2）Rt△ABC中，AC：BC=1：2，∴tan∠ABC=．∴锐角∠ABC≈27°＜45°．这架滑梯的倾斜角符合要求．4．分别作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．∵=，∴∠DAM=45度．∵AD=8，∴DM=AM=。