
_《高等数学基础》形考第三次作业参考答案.pdf
4页高等数学基础形成性考核册答案1 高等数学基础形成性考核册第三次作业参考答案第四章导数的应用一、单项选择题1、D 2、D 3、A 4、C 5、C 6、 A 二、填空题1、极小值2、0 3、)0 ,(4、),0(5、)(af6、)2 ,0(三、计算题1、求函数2)5)(1(xxy的单调区间和极值解:函数的定义域是),(求导:)5)(1()5()1(22xxxxy)5(2)1()5(2xxx)33)(5(xx令0)33)(5(xxy,得5x或1x;令0)33)(5(xxy,得51x;因此,单调上升区间为) 1 ,(何), 5(,单调下降区间为)5 , 1(2、求函数322xxy在区间3 ,0内的极值点, 并求最大值和最小值解:求导数:22xy令022xy,得驻点为0 x;高等数学基础形成性考核册答案2 求二阶导数:02y因此,0 x为函数的极小值点函数没有极大值点计算并比较函数值:2)1(,6)3(, 3)0(fff可见,最大值是6)3(f,最小值是2) 1(f3、求曲线xy22上的点,使其到点)0 ,2(A的距离最短解:设曲线上点坐标为),(yx,它到点)0,2(A的距离为22)0()2(yxd22)2(yxxx2)2(2422xx求导数:421)22(422122xxxxxxd令04212xxxd,得唯一驻点是1x。
根据问题的实际背景可知这是所求的点的横坐标代入曲线方程,可得2y所以,所求的点为)2, 1(何)2, 1(4、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?解:如右图所示,设底面半径为r,高为h,体积为V则上底中心到下底边沿的距离为222hrL计算体积:高等数学基础形成性考核册答案3 hrV2)(22hLh32hhL令V0322hL,求得唯一驻点为33Lh根据问题的实际意义可知,这个值即为所求此时,3632222LLLhLr所以,当底面半径为36L,高为33L时体积最大5、一体积为V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?解:如右图所示,设圆柱体的底面半径为r,高为h,表面积为y根据条件知该圆柱体的体积为V:hrV2表面积等于上、下底的面积与侧面积的和,因此rhry2222222rVrrrVr222令0242rVrV,得唯一驻点为32Vr根据问题的实际意义知驻点即为所求结果代入可求得34Vh所以,底面半径为32V,高为34V时圆柱体的表面积最小6、欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?高等数学基础形成性考核册答案4 解:设底面边长为x米,高为y米,表面积为S平方米。
根据条件,体积:5.622yx表面积等于底面面积加四个侧面面积:xxxxxxyxS2505 .62442222令025022xxS,求得唯一驻点为5x(米) ,根据问题的实际意义可知,这就是所求的底面边长此时,5.2y(米)所以,底面边长为5 米,高 2.5 米时用料最省四、证明题1、当0 x时,证明不等式)1ln(xx证明:令)0)(1ln()(xxxxf,则)(xf在),0上连续,在),0(内可导由于)0(01111)(xxxxxf因此,函数)(xf在),0上是单调上升的,即当0 x时有0)0()1ln()(fxxxf所以命题成立2、当0 x时,证明不等式1xex证明:令)0(1)(xxexfx,则)(xf在),0上连续,在),0(内可导由于)0(01)(xexfx因此,函数)(xf在),0上是单调上升的,即当0 x时有0)0(1)(fxexfx所以命题成立。












