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对命题的否定与否命题的理解 四川省广汉中学：邱华高中数学中，《简易逻辑》一节对于高一新生来说是较为抽象，特别是对命题的否定和否命题在理解上尚一定难度，特别是加之资料书上对这方面谈得少，知识上存在一定缺陷本人根据自已的教学实践，谈谈对这个问题认识，供参考 首先我们要理解好命题否定“非”的认识非”命题是对原命题结论的否定一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓P”）称为命题的否定非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译 《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定下面一一试述： 1 简单命题的否定 在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”其中P是一个特定对象 例1 写出下列命题的否定 （1） 是有理数 （2） 菱形的对角线互相垂直。
（3） N {x R︱x＞–2}. （4） 方程 =1没有实数根 解:（1）的否定： 不是有理数 或者是并非 是有理数 （2）的否定：菱形的对角线不互相垂直 （3）的否定：N {x R︱x＞–2} （4）的否定：方程 =1有x≠3的实数2 复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定 给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q” 叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）记作P q它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假) P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 从表可知：┓(P q)与 ┓P ┓q的真值相同；┓(P q)与 ┓P ┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。
用符号语言表示： ┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q 从而知命题“P q”和“P q”的否定：既否定命题P,q;又改变联结词 例2 写出下列命题的否定 (1) a=±5 (2) f(x)=0既是奇函数又是偶函数 (3) 5是10的约数且是15的约数 (4) 2+2=5或3<2 (5) AB∥CD (6) a,b都是0 解（1）的否定：a≠5且a≠–5原命题属于P或q型） （2）的否定：f(x)不是奇函数或不是偶函数原命题属于P且q型） （3）的否定：5不是10 的约数或5不是15的约数 （4）的否定：2+2≠5且3≥2 （5）的否定：AB∥CD或AB≠CD （6）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0” 可见原命题与其否定命题是一对矛盾命题 3 复合命题“若P则q”形式的否定。
“若P则q”（记作Pq）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究 当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决用“1”表示真，“0”表示假) P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q) 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言表示： ┓(P q)= P (┓q) 或 ┓(P q)= ┓（┓P q）= P (┓q) 例3 写出下列命题的否定 （1）若x2+y2=0， 则x, y全为0 （2）若x=2或x=–1 则x2-x-2=0. （3）若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。
解：（1）的否定：虽然x2+y2=0，但是x和 y不全为0 （2）的否定：虽然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0. （3）的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B 但在教学中发现有些师生把例3的答案写成：（1）若x2+y2=0，则x,y不全为02）若x=2或x=–1，则x2-x-2≠0.是不对的它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变，结论q否定，且联结词不变的命题”即为┓(P q)= P (┓q)实际上，原命题与否定命题应属于矛盾命题，而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题；另方面从真值表可知，当P为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾命题，因此┓(Pq)≠P (┓q)例如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数，则7不是奇数”都为真命题希教学中切实注意它们的区别 4 含量词命题的否定 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
那么它的否定又怎么样？ 一般地，全称命题P： x A,有P（x）成立；其否定命题┓P为： x A, 使P（x）不成立存在性命题P： x A,使P（x）成立; 其否定命题┓P为： x A,有P（x）不成立在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 例4 写出下列命题的否定 （1） 所有自然数的平方是正数 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数 解；（1）的否定：有些自然数的平方不是正数 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0 （4）的否定：所有的质数都不是奇数 但解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式 例5 写出下列命题的否定 （1） 若x2＞4 则x＞2. （2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根 （3） 可以被5整除的整数，末位是0. （4） 被8整除的数能被4整除 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等 解（1）的否定：存在实数x，虽然满足x＞4但x≤2.或者说：存在小于或等于2的数x，满足x2＞4完整表达为对任意的实数x，若x2＞4 则x＞2） （2）的否定：虽然实数m≥0,但存在一个x，使x2+ x-m=0无实数根原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根 （3）的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0. （4）的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等 由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立 5 命题的否定与否命题的区别 命题的否定与否命题是完全不同的概念其理由：一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假如下面真值表可知： P q ┓p ┓q” P q ┓p ┓q” 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 三，原命题“若P则q”的形式，它的否定命题在前面已讲过；而它的否命题为“若非P，则非q”，（记为“若┓p，则┓q”）即是说既否定条件又否定结论。
例6 写出下列命题的否定命题与否命题并判断其真假性 （1） 若x＞y,则5x＞5y （2） 若x2+x﹤2,则x2-x﹤2 （3） 正方形的四条边相等 （4） 已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0 解：（1）的否定： x,y(x＞y且5x≤5y) 假命题 否命题：V x,y（x≤y,5x≤5y） 真命题 （原命题为：V x,y（x＞y ,5x＞5y）真命题） （2）的否定： x（x2+x﹤2,x2-x≥2）真命题 否命题：V x（x2+x≥2, x2-x≥2）假命题 （原命题为：V x（x2+x﹤2, x2-x﹤2）假命题） （3）。
