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多解问题探源￿物理习题出现多角的原因很多，这里略举几例：物理习题出现多角的原因很多，这里略举几例：￿1、、因为题设条件不确定引起的多解，如电荷的正负未因为题设条件不确定引起的多解，如电荷的正负未知、波的传播方向不明、运动性质不定等等知、波的传播方向不明、运动性质不定等等￿2、反映物理过程规律的是二次函数如电源的输出功、反映物理过程规律的是二次函数如电源的输出功率、匀变速运动的位移等率、匀变速运动的位移等￿3、物理过程本身具有周期性物理过程本身具有周期性￿4、物理问题有多个边界物理问题有多个边界￿5、一个物理现象与多个物理现象相对应如已知感应、一个物理现象与多个物理现象相对应如已知感应电流的方向则磁场的变化有两种可能电流的方向则磁场的变化有两种可能例题一￿宇航员在某一星球上以速度宇航员在某一星球上以速度V0竖直向上抛出一个小球，经过时间竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球又落回原抛出点，然后他又用一根长为小球又落回原抛出点，然后他又用一根长为L的细线把一个质量为的细线把一个质量为M的小球悬挂在的小球悬挂在O点，使小球处于静止状态，如图所示现在最低点，使小球处于静止状态，如图所示。

现在最低点给小球一个水平向右的冲量点给小球一个水平向右的冲量I，，使小球能在竖直平面内运动，若使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动过程中始终对细线有力的作用，则冲量小球在运动过程中始终对细线有力的作用，则冲量I的大小应满足的大小应满足什么条件？什么条件？ IO例题一分析与解答￿本题因为符合条件的边界有两个本题因为符合条件的边界有两个￿学生一般能想到小球恰能运动到最高点这种情况学生一般能想到小球恰能运动到最高点这种情况￿在最高点在最高点Mg=MV21/L,V0-gt/2=0,g=2V0/t￿因因机械能守恒机械能守恒MV20/2=2MgL+MV12/2.IO如果在过如果在过O点的水平面以下摆动，摆角小于等于点的水平面以下摆动，摆角小于等于180°也符合题意也符合题意本题的解是一分段函数本题的解是一分段函数例题二￿从在地面上竖直上抛出一个物体，已知物体的初动能为从在地面上竖直上抛出一个物体，已知物体的初动能为EK0，，物体受到空物体受到空气的阻力是它的重力的气的阻力是它的重力的1/n，，问：当物体的重力势能为问：当物体的重力势能为EP时它的动能是多时它的动能是多少？少？￿分析与解答分析与解答￿因物体有两次经过重力势能为因物体有两次经过重力势能为E EP P的地方，本题有二个解。

的地方，本题有二个解￿设重力势能为设重力势能为E EP P处离地高为处离地高为h h￿物体在上升过程物体在上升过程EK1-EK0=-（（1+1/n））mgh = -（（1+1/n）） EP物体在下降过程中到达高为物体在下降过程中到达高为h处处EK2=mg(H-h)-(2H-h)mg/n例题三￿一宇宙人在重力可以忽略的太空中玩垒球如图所示的太空球场一宇宙人在重力可以忽略的太空中玩垒球如图所示的太空球场有理想分界线有理想分界线MN，，它的一侧是场强为它的一侧是场强为E的匀强电场，另一侧是磁的匀强电场，另一侧是磁感应强度为感应强度为B的匀强磁场宇宙人位于电场中距的匀强磁场宇宙人位于电场中距MN为为H的的P点，点，PO垂直于垂直于MN，，D是是MN上的一点，上的一点，OD=d，，垒球的质量为垒球的质量为m, 带带负电，电量为负电，电量为q1））宇宙人在宇宙人在P点沿平行于点沿平行于MN方向击球，球未方向击球，球未经磁场直接打中经磁场直接打中D点，求垒球被击中后的速度点，求垒球被击中后的速度V12））宇宙人从宇宙人从P点沿平行于电场线方向击球，也恰好击中点沿平行于电场线方向击球，也恰好击中D点，求垒球被击中后点，求垒球被击中后的速度的速度V2。

例题三分析与解答￿（（1）垒球在电场中作类平抛运动）垒球在电场中作类平抛运动￿H=Eqt2/2m,V1t=d(2)平行于电场线方向击球，球在磁场中的运动轨迹是一系列半圆平行于电场线方向击球，球在磁场中的运动轨迹是一系列半圆在在电场中，由动能定理电场中，由动能定理 EqH=mVt2/2-mV22/2在在磁场中圆周运动的半径磁场中圆周运动的半径r=mVt /Bq若若2rn=d，，则垒球经过则垒球经过D点例题四￿图示的装置在竖直平面内，要使带负电的油滴图示的装置在竖直平面内，要使带负电的油滴P静止在两平行的金静止在两平行的金属板之间，导体棒属板之间，导体棒ab应如何运动？应如何运动？￿分析与解答：分析与解答：￿油滴油滴P P静止的条件是电场力向上静止的条件是电场力向上￿即电容器中的电场方向向下即电容器中的电场方向向下 E正极正极负极负极感应电动势的方向一定，磁通量的变化有两种可能感应电动势的方向一定，磁通量的变化有两种可能假设电容器内有感应电流则感应电流产生的磁场方向如图假设电容器内有感应电流则感应电流产生的磁场方向如图可能之一：原磁场也向下且正减速小；可能之一：原磁场也向下且正减速小；则则b端为电源正极且电流在减小端为电源正极且电流在减小故故ab向左减速运动向左减速运动可能之二可能之二a为电源正极且电流一增大为电源正极且电流一增大故故ab向右加速运动向右加速运动例题五￿图示的图示的M、、N两板间距离为两板间距离为d，，板长为板长为5d，，两板均不带电，两板之间有垂直纸两板均不带电，两板之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为面的匀强磁场，磁感应强度为B。

一大群电子左端沿平行于板的方向从各处以一大群电子左端沿平行于板的方向从各处以相同的初速度射入磁场已知电子的质量为相同的初速度射入磁场已知电子的质量为m，，电量为电量为e，，为确保电子都不穿为确保电子都不穿出两板间的磁场，求电子进入磁场时的初速度出两板间的磁场，求电子进入磁场时的初速度￿分析与解答：本问题因有两个可能的边界引起多解分析与解答：本问题因有两个可能的边界引起多解￿先画示意图先画示意图 由图由图可知只要在兰色箭头处射入的电子可知只要在兰色箭头处射入的电子不穿出磁场则所有电子均不会穿出磁场不穿出磁场则所有电子均不会穿出磁场r2为防止电子从右边穿出磁场，半径不能大于为防止电子从右边穿出磁场，半径不能大于r2例题六￿如图所示，质点如图所示，质点A在某一时刻从与圆心在某一时刻从与圆心O等高的等高的a点开始在竖直平面内沿顺时针方向作匀点开始在竖直平面内沿顺时针方向作匀速圆周运动，与此同时位于圆周顶点的质点速圆周运动，与此同时位于圆周顶点的质点B作自由落体运动，已知圆周的半径为作自由落体运动，已知圆周的半径为R求：求：（（1）质点）质点A的角速度的角速度ωω满足什么条件时满足什么条件时A与与B才能相遇？（才能相遇？（2）质点）质点A的角速度的角速度ωω满足什满足什么条件时么条件时A的速度与的速度与B在圆周最低点的速度才会相等？在圆周最低点的速度才会相等？￿分析与解答分析与解答￿(1) A、、B相遇只能在相遇只能在d点，点，B的运动时间的运动时间t是定值是定值￿本题由于本题由于A圆周运动的周期性引起多解圆周运动的周期性引起多解￿A运动到运动到d点的时间点的时间 t=3T/4+KT(2) B在最低点的速度是定值，在最低点的速度是定值，A只有只有在在c点时它的速度才可能与点时它的速度才可能与B相同。

相同只有一个解！只有一个解！例题七￿一列沿一列沿X轴正方向传播的波波速为轴正方向传播的波波速为6m/s，，在某时刻在某时刻x1=5cm的的A点运动到负向最点运动到负向最大位移处，大位移处，x2=8cm的的B点恰好在平衡位置向点恰好在平衡位置向Y轴正方向运动，求这列波的波长轴正方向运动，求这列波的波长和频率和频率 ￿分析与解答分析与解答￿本题由于间隔为波长的整数倍的质点振动同步引起多解本题由于间隔为波长的整数倍的质点振动同步引起多解￿先画示意图先画示意图XYOVAB两条图线两条图线是否都符合题意？是否都符合题意？例题八￿两个相干声波，波源两个相干声波，波源S S1 1和和S S2 2振动步调一致，波长为振动步调一致，波长为2 2m m．．S S1 1在原点，在原点，S S2 2的坐标为（的坐标为（0 0，，4 4），如图所示一人沿），如图所示一人沿x x轴正向行驶，求此人能听到强音时的位置坐标？轴正向行驶，求此人能听到强音时的位置坐标？￿两列波干涉使振动加强的位置有好多个，这是因为物理现象具有对称性引起的多解两列波干涉使振动加强的位置有好多个，这是因为物理现象具有对称性引起的多解￿设人在设人在P P点是两声波相干涉的增强位置能听到强音，因此有下面关系点是两声波相干涉的增强位置能听到强音，因此有下面关系 因为因为n=0的点不在的点不在X轴上轴上所以本题只有两个解：所以本题只有两个解：X=0和和X=3例题九￿两个定值电阻，把它们串联起来，等效电阻是两个定值电阻，把它们串联起来，等效电阻是4 4ΩΩ；；把它们并联起把它们并联起来，等效电阻是来，等效电阻是1 1ΩΩ．．求：（求：（1 1）这两个电阻的阻值各为多少？）这两个电阻的阻值各为多少？（（2 2）如果把这两个电阻串联后接入一个电动势为）如果把这两个电阻串联后接入一个电动势为E，，内阻为内阻为r r的电的电源两极间，两电阻消耗的总功率等于源两极间，两电阻消耗的总功率等于P P1 1；；如果把这两个电阻并联如果把这两个电阻并联后接入同一电源两极间，两电阻消耗的总功率等于后接入同一电源两极间，两电阻消耗的总功率等于P P2 2，若，若P P1 1=9W=9W，，且且P P2 2≥P1≥P1，，求满足这一要求的求满足这一要求的E和和r。

￿分析与解答分析与解答￿（（1））R1+R2=4，，1/R1+1/R2=1，，R1=R=2 ΩΩ￿（（2）） P1=[E/（（4+r））]2×4=9，，E=6+1.5r.￿P2=[E/(1+r)]2 ×1 ≥9,≥9,E E 2 2≥≥9+18r+9r9+18r+9r2 2￿(6+1.5r)(6+1.5r)2 2 ≥≥9(1+r)9(1+r)2 , 2 , 6+1.5r 6+1.5r ≥≥ 3+3r, 2 3+3r, 2 ≥r ≥0≥r ≥0 ￿6+1.5r 6+1.5r ≥≥ -3-3r,r -3-3r,r ≥≥ -2.-2.舍去￿本题的完整解为本题的完整解为 E=6+1.5r，， 2 2 ≥r ≥0≥r ≥0 练习题1、￿在在一一向向右右运运动动的的车车厢厢顶顶上上悬悬挂挂两两单单摆摆M M与与N N它它们们只只能能在在如如图图所所示示的的平平面面内内摆摆动动，，某某一一时时刻刻出出现现图图示示情情景景，，由由此此对对车车厢厢的的运运动动和和单单摆摆相相对对于于车车厢厢的的运运动动情情况况可可能能是是[ ][ ]￿A A车厢作匀速运动，车厢作匀速运动，M M在摆动，在摆动，N N静止静止￿B B车厢作匀速运动，车厢作匀速运动，M M在摆动，在摆动，N N也在摆动也在摆动￿C C车厢作匀速运动，车厢作匀速运动，M M静止，静止，N N在摆动在摆动￿D车厢作匀加速直线运动，车厢作匀加速直线运动，M静止，静止，N也静止也静止￿分析与解答：由图知若分析与解答：由图知若M相对于车厢静止则相对于车厢静止则M有向右的加速度。

有向右的加速度￿若车厢作匀速运动则若车厢作匀速运动则N可以、可以、M不能与车相对静止不能与车相对静止￿故故C错错￿若车厢作匀加速运动则若车厢作匀加速运动则M球可以、球可以、N不能与车相对静止不能与车相对静止￿故故D错错￿正确选项是正确选项是ABAB练习题2、￿图示的匀强电场方向竖直向上，电场强度为图示的匀强电场方向竖直向上，电场强度为E有一个质量为有一个质量为m，，带电量为带电量为+q的小球的小球用长为用长为L的绝缘细线系于电场中的的绝缘细线系于电场中的O点问：小球在最低点要以多大的水平速度点问：小球在最低点要以多大的水平速度V0运运动，才能使它在竖直平面内作完整的圆周运动？动，才能使它在竖直平面内作完整的圆周运动？￿分析与解答：分析与解答：￿本题多解是因为电场力与重力的大小关系不明确引起的应该分三种情况来讨论：本题多解是因为电场力与重力的大小关系不明确引起的应该分三种情况来讨论：￿（（1）若）若Eq=mg,则则V0>0￿（（2）若）若Eq>mg ，则，则Eq-mg=mV2/L,￿ (3) 若若Eq

若圆盘以转速圆盘面平行若圆盘以转速=3600/min旋转，子弹以垂直盘面方向射来，先旋转，子弹以垂直盘面方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘测得两圆盘间距离为打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘测得两圆盘间距离为1m，，两圆盘上被两圆盘上被子弹穿过的半径之间的夹角是子弹穿过的半径之间的夹角是15°°，求子弹穿过第一个圆盘后的速度求子弹穿过第一个圆盘后的速度￿分析与解答：分析与解答：￿子弹在两圆盘间飞行的时间子弹在两圆盘间飞行的时间t=1/V￿这段时间内圆盘转过这段时间内圆盘转过15°=°=π/12π/12；；￿圆盘的角速度圆盘的角速度ω=ω=（（ 2Kπ+ π/122Kπ+ π/12 ））/t= /t= （（ 2Kπ+ π/122Kπ+ π/12 ））V V￿据题意据题意ω=2π×60=120 πω=2π×60=120 π￿V=120π/ V=120π/ （（ 2Kπ+ π/122Kπ+ π/12 ））m/s.m/s.（（K=0K=0，，1 1，，2 2，，3 3，，……））￿本题因圆周运动的周期性引起多解本题因圆周运动的周期性引起多解练习题5、￿在磁感应强度为在磁感应强度为B B的匀强磁场中，垂直于磁场的光滑绝缘水平面上有相距为的匀强磁场中，垂直于磁场的光滑绝缘水平面上有相距为d d的两点的两点P P和和Q Q。

在在Q Q处有一个质量为处有一个质量为M M的不带电的静止质点质量为的不带电的静止质点质量为m m，，电量为电量为q q的带负电的离子经电场加速后从的带负电的离子经电场加速后从P P点垂直于磁场方向射入匀强磁场后，经过点垂直于磁场方向射入匀强磁场后，经过t=m/3qBt=m/3qB恰与质点恰与质点M M相碰设负离子在被电场加速前的速度为零求：相碰设负离子在被电场加速前的速度为零求：￿（（1 1）电场对负离子的加速电压是多大？）电场对负离子的加速电压是多大？￿（（2 2）若）若M=3mM=3m，，且离子与质点相碰后即结合为一体成为新离子，新离子在磁场且离子与质点相碰后即结合为一体成为新离子，新离子在磁场中运动的半径中运动的半径R R2 2有多大？有多大？￿（（3 3）为使这个离子从）为使这个离子从P P进入磁场后能在进入磁场后能在Q Q处与处与M M相遇，电场对离子的加速电压相遇，电场对离子的加速电压U Ux x又应该是多大？又应该是多大？￿分析与解答：分析与解答：（（1 1）负离子圆周运动）负离子圆周运动 t=m/3qB=T/6t=m/3qB=T/6 ,R=d=mV ,R=d=mV0 0/ /qBqB￿V V0 0= =dqBdqB/m,/m,UqUq=mV=mV0 02 2/2,U=qd/2,U=qd2 2B B2 2/2m./2m.￿(2)mv(2)mv0 0=(M+m)V=(M+m)V2 2,V,V2 2=V=V0 0/4,R/4,R2 2=(M+m)V=(M+m)V2 2/ /qBqB=d=d￿(3)(3)本小题因离子进入磁场的方向不定引起多解本小题因离子进入磁场的方向不定引起多解PQV0dθθθθR练习题6、￿宇航员在太空完成作业后要返回飞船，可向着返回飞船的相反方向喷出氧气，宇航员在太空完成作业后要返回飞船，可向着返回飞船的相反方向喷出氧气，同时保留部分氧气供呼吸用。

已知宇航员连同装备总质量同时保留部分氧气供呼吸用已知宇航员连同装备总质量M=100㎏㎏，，与飞船与飞船相对静止在相对静止在S=45m处，此时还有氧气处，此时还有氧气m=0.5㎏㎏，，喷出的氧气的速度可达喷出的氧气的速度可达V0=50m/s宇航员的呼吸耗氧率宇航员的呼吸耗氧率Q=2.5××10-4㎏㎏/s，，要求宇航员安全返回飞船要求宇航员安全返回飞船他一次应喷出多少千克氧气？他一次应喷出多少千克氧气？￿分析与解答分析与解答 ：设喷出的氧气质量为设喷出的氧气质量为X ㎏㎏￿则则50X=100V，，(0.5-X)=QS/V￿本题因出现两次函数引起多解本题因出现两次函数引起多解练习题7、￿一根张紧的绳上一根张紧的绳上ab两点相距两点相距14m，，b点在点在a点的右方当一列简谐横波沿此长点的右方当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若绳向右传播时，若a点的位移达到正最大时，点的位移达到正最大时，b点的位移恰为零且向下运动，点的位移恰为零且向下运动，经过经过1.0s后后a点的位移为零并向下运动，而点的位移为零并向下运动，而b点的位移恰达到负向最大值，求该点的位移恰达到负向最大值，求该波的波速波的波速。

￿分析与解答分析与解答￿本题因简谐运动的周期性引起多解本题因简谐运动的周期性引起多解￿所以所以 1.0=T/4+KT ￿本题还因为间隔为波长整数倍的质点振动同步引起多解本题还因为间隔为波长整数倍的质点振动同步引起多解abV练习题8、￿设在地面上的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场．已知电场强度和磁感应强度的方设在地面上的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场．已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/mE=4.0V/m，，磁感应强度的大小磁感应强度的大小B=0.15TB=0.15T，，今有一个带负今有一个带负电的质点以电的质点以V=20m/sV=20m/s的速度在此区域沿垂直于场强方向做匀速直线运动，求：（的速度在此区域沿垂直于场强方向做匀速直线运动，求：（1 1）此）此带电质点的电量与质量之比带电质点的电量与质量之比q/mq/m2 2））请准确描述磁场的方向（角度可用反三角函数请准确描述磁场的方向（角度可用反三角函数表示）．表示）．分析与解答：（分析与解答：（1 1））带电质点垂直于电场和磁场的方向匀速运动，一定受重力、电场力和带电质点垂直于电场和磁场的方向匀速运动，一定受重力、电场力和洛仑兹力，并且三力平衡．洛仑兹力，并且三力平衡．这三个力的方向和质点的运动方向可能是什么样的？这三个力的方向和质点的运动方向可能是什么样的？电场力和洛仑兹力肯定垂直！电场力和洛仑兹力肯定垂直！mgEVBEBθθ（（2）本题因质点的运动方向不定引起多解）本题因质点的运动方向不定引起多解磁场的所有可能的方向是沿着与重力方向成夹角磁场的所有可能的方向是沿着与重力方向成夹角θ=37°且且斜向下的射线绕重力作用线旋转的所成的圆锥面。

斜向下的射线绕重力作用线旋转的所成的圆锥面。