2023年考研数学（二）真题.pdf

2023年全国硕士研究生统一入学考试数学( 二) 试题一、选择题：1-10小题，每小题5 分，共 50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1 . 曲线y = xln(e + —匚 ) 的斜近线方程为：x -1A. y = x + eB1.y = x +eC. y = xD. y = x - ^eI / , x w 02 . 函数/(x ) = J J l + x2 的一个原函数为:[(x + l)cosx,x> 0尸(x) = «ln(Vl + x2 - x), x < 0(x + 1) cosx-sinx,x> 0F (x) = ■ln(Vl + x2 - x) +1, x < 0(x + 1) cosx-sinx,x > 0F(x) = «ln(Jl + x2 +x),x < 0(x + l)sin x + cosx, x > 0F(x) = 'ln(71 + x2 +x) + l,x < 0(x +1) sin x + cos x,x > 03 . 已知｛ 居｝ , 也 ｝ 满足：玉 = 凹 = 5，x“+] =sinx“,y.+| = 呼( 〃 =1,2,…) ，则当”->8吐A. % 是尤的高阶无穷小B . 以 是 血 的高阶无穷小C .当与北的等价无穷小D. 乙与乂是同阶但不等价的无穷小4 . 已知微分方程成+ 即 ' + ” = 0 的解在( — , + 8 ) 上有界，则 的 取 值 范 围 为A. a < 0,/? > 0B. a > O.b > 0C . a = 0 , / ? > 0D . a = 0 , 6 < 0x = 2 z + 1115. 设函数歹= f ( x )由 (।确定，贝ijl y = |f |si n /A j ( x )连续，A ( 0 )不存在B . / ( 0 )不存在，〃x )在x = 0处不连续C . / ( x )连续，1 ' ( 0 )不存在Dj” ( 0 )存在，/' ( x )在x = 0处不连续6 .若函数- - - - - - -在4 = 服处取得最小值. 贝1」 /=x ( l n x)l n ( l n 2 )B . - I n ( l n 2 )c . --LI n 2D . I n 27 .设函数/ ( 》 ) = 俨 + 力 心 若f ( x )没有极值点，但曲A . [0 , 1 ) B . [l , + o o ) C . [1 , 2 )8 . 设48为〃阶单位矩阵，“ *为矩阵” 的伴随矩阵A佃⑹皿门 伊P〔 。

班1 1C 伽/ 叼 (\B\A-[即[ Dl 09 .二次型/ ( % , % 2 ， % 3 )= ( 玉 + 工2 ) ~ + ( 须 + 对)2 -4 ( X2 -A . yt2 + y22 B . yt2 -y22 C . yt2 +y22 -4)线V = / ( x )有拐点，则的取值范围是(> [2 , + o o )"(0胃…-/ B *、忸 |川-A*B*、与厂的规范形为()- 32 D . y,2+y22-y321 0 .已知向量d = 2线性表示, 则y =()(2\a2 = 1( 2 )氏=5若/ 既可由田, 2线性表示， 也可由万上同二、填空题：11〜 16小题，每小题5分，共30分. 请将答案写在答题纸指定位置上.1 1 .当x - > 0时，函数/ ( X ) = a x + 加+ l n ( l + x )与g ( x ) = - c o sx是等价无穷小，则a b1 2 . 曲线y =「厂《3— a dt的弧长为1 3 ,设函数Z = Z( x , y )由，+ x z = 2 x - y 确定，则5Th ] ) = _ _ _ _ _ _1 4 ,曲线3 d = j ? + 2 y 3在x = i对应点处的法线斜率为1 5 ,设连续函数/ ( x )满足：〃 x + 2 ) — / ( x ) = x , £2/ ( x > / x = 0 \"f(x)dx =，外J1 6. 已知线性方程组《a X j + x3 = 1X [ + ax2 + 刍 =0西 + 2X2 +ax3 = 0ax{ + bx2 - 2a有解，其中a , b为常数，若110 1a 1 =4,则2 a1 a 11 2 a =a b 0三、解答题：17〜 22小题，共70分. 请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 6 ,设曲线L: y = y ( x ) ( x > e )经过点( e2,0 ) , L上任意一点P ( x ,y )到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距（ 1）求 Mx）（ 2 ）在L上求一点，使该点处切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积1 8 .（ 本题满分1 2分）x2求函数/ （ 》 ）） = 坨 叩 + ].1 9 .（ 本题满分1 2分）已知平面区域。

（ x ,y ） | O v y w -J , ,x 二 1、 xy/1 + x2（ 1 ）求D的面积（ 2 ）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.2 0 .（ 本题满分1 2分）设平面有界区域位于第一象限，由曲线V +/ 一 盯= 1 , / +丁2 7y = 2,与直线歹== 0围成，计算JJ—J -ydxdy.D 3X +»2 1 .（ 本题满分1 2分）设/（ x ）在卜凡可上具有2阶连续导数，证明：（ 3 ）若/（ 0 ） = 0,则存在d， a ） ,使得了" （ ?T[ 仆） + / （ - ） ] ；（ 4 ）若/（ X ）在 （ 一兄 ） 内取得极值，则存在〃 使 得 / " ⑹ 二 —| / （ ） 一/ （ 一 ） |、（ X] + X2 +、2 2 .（本题满分1 2分）设矩阵/, 满足对任意再了2 ， W均有：Z 0 = 2X1-X2+X3\xiJ （ 马一“ 3 j（ 1 ）求 /（ 2 ）求可逆矩阵尸与对角矩阵八，使得P " Z P = A。