数学就悖论正论,一起来证明1=2(转).docx

数学就悖论正论,一起来证明1=2(转) 数学就悖论正论,一起来证明1=2(转)由我整理，希望给你工作、学习、生活带来方便 今天上数学课各种好玩的东西于是就找到好多这个来分享一下 当然不是我写的并且大部分的人好像只会去看第一个就不想看了 而且大部分一般人都知道a-b=0不能约的所以大家可以跳过第一条来看 还是可以开动脑子想想关于自我指涉例句之类的东西吧 这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴 1=2？史上最经典的“证明” 设 a = b ，则 a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·bb^2 注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b·(ab) 约掉 (ab 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 aS ，解得 S = 1/2 学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的 无穷级数的力量 (2) 同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。

例如，令 x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … 则有： 2x = 2 + 4 + 8 + 16 + … 于是： 2x(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1 也就是说： 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1 平方根的阴谋 (1) 定理：所有数都相等 证明：取任意两个数 a 和 b ，令 t = a + b 于是， a + b = t (a + b)(ab) a^2t·b a^2t·b a^2t·b + (t^2)/ 4(at/2)^ 2at/2 a = b 怎么回事儿？ 问题出在倒数第二行 永远记住， x^2 = y^2 并不能推出 x = y ，只能推出 x = ±y 平方根的阴谋 (2) 1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1 嗯？ 只有 x、y 都是正数时， √x·y = √x·√y 才是成立的 -1 的平方根有两个， i 和 -i 。

√(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ，它正好等于 1 复数才是王道 考虑方程 x^2 + x + 1 = 0 移项有 x^2 = 1等式两边同时除以 x ，有 x =1/x 把上式代入原式中，有 x^2 + (-11/x = 0 即 x^3 = 1 也就是说 x = 1 把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 也就是说， 3 = 0 ，嘿嘿！ 其实， x = 1 并不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的，但在复数范围内有两个解 另一方面， x = 1 只是 x^3 = 1 的其中一个解 x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的考虑方程 x^31)(x^2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释或许这也说明了引入复数概念的必要性吧 颇具喜剧色彩的错误 众所周知， 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2让我们用 nn / 2 + 1 可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解 也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立！ 这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是 1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1 1 块钱等于 1 分钱？ 我要用数学的力量掏空你的钱包！请看： 1 元 = 101 分 = (10 分)^2 = (0.1 元)^2 = 0.01 元 = 1 分 用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的事实上， “101 分 = (10 分)^2” 是不成立的， “10 分” 的平方应该是 “101 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “101 平方米” 一样。

数学归纳法的杯具 (1) 下面这个“证明”是由数学家 George Pólya 给出的：任意给定 n 匹马，可以证明这 n 匹马的颜色都相同 对 n 施归纳：首先，当 n = 1 时命题显然成立若命题对 n = k 成立，则考虑 n = k + 1 的情形：由于 {#1, #2, …, #k} 这 k 匹马的颜色相同， {#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了 这个证明错在，从 n = 1 推不出 n = 2 ，虽然当 n 更大的时候，这个归纳是正确的这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上 数学归纳法的杯具 (2) 下面，我来给大家证明，所有正整数都相等 为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数 a、b ，都有 a = b 为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数 n ，如果 max(a, b) = n ，那么 a = b 我们对 n 施归纳当 n = 1 时，由于 a、b 都是正整数，因此 a、b 必须都等于 1 ，所以说 a = b 。

若当 n = k 时命题也成立，现在假设 max(a, b) = k + 1 则 max(a1) = k ，由归纳假设知 a1 ，即 a = b 这个问题出在， a1 有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设 所有三角形都是等腰三角形 别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的下面就是一个经典的几何谬论 画一个任意三角形 ABC 下面我将证明， AB = AC ，从而说明所有三角形都是等腰三角形 令 BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线交于点 P 过 P 作 AB、AC 的垂线，垂足分别是 E、F 由于 AP 是角平 分线，因此 P 到两边的距离相等，即 PE = PF 于是，由 AAS 可知 △APE ≌ △APF 由于 DP 是中垂线，因此 P 到 B、C 的距离相等，由 SSS 可知 △BPD ≌ △CPD 另外，由于 PE = PF ， PB = PC ，且 ∠BEP = ∠CFP = 90° ，由 HL 可知 △BEP ≌ △CFP 现在，由第一对全等三角形知 AE = AF ，由最后一对全等三角形知 BE = CF ，因此 AE + BE = AF + CF ，即 AB = AC 。

这个证明过程其实字字据理，并无破绽证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！事实上， BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线不可能交于三角形的内部我们可以证明， P 点总是落在 △ABC 的外接圆上如图， P 是 BC 的中垂线与外接圆的交点，显然 P 就是弧 BC 的中点，即弧 BP = 弧 PC 因此， ∠BAP = ∠CAP ，换句话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上 P 在 △ABC 外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是说，结论 AE + BE = AF + CF 并不错，只是 AF + CF 并不等于 AC 罢了 一个可怕的逻辑错误 下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 杂志上： 假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到 AB^2 = AC^2 + BC^ 2BC^2 = CD^2 + BD^2 AC^2 = AD^2 + CD^2 把后两式代入第一个式子，有 AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2 但 CD^2 = AD·BD ，因此 AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2 即 AB^2 = (AD + BD)^2 即 AB = AD + BD 而这显然成立。

因此，我们的假设也是成立的 这个证明是错误的假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正 确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的错误的假设也有可能推出正确的结果来最经典的例 子就是，不妨假设 1 = 2 ，由等式的对称性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的 如此反证 下面这个有趣的故事来源于 Lewis Carroll 的一篇题为 A Logical Paradox 的小论文 Joe 去理发店理发理发店有 A、B、C 三位师傅，但他们并不总是待在理发店里 Joe 最喜欢 C 的手艺，他希望此时 C 在理发店里他远远地看见理发店还开着，说明里面至少有一位师傅另外， A 是一个胆小鬼，没有 B 陪着的话 A 从不离开理发店 Joe 推出了这么一个结论： C 必然在理发店内让我们来看看他的推理过程 反证，假设 C 不在理发店这样的话，如果 A 也不在理发店，那么 B 就必须在店里了，因为店里至少有一个人；然而，如果 A 不在理发店， B 也理应不在理发店，因为没有 B 陪着的话 A 是不会离开理发店的。

因此，由 “C 不在理发店” 同时推出了 “若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 两个矛盾的结论这说明， “C 不在理发店” 的假设是错误的 从已有的条件看， C 当然有可能不在理发店但是，为什么 Joe 竟然证出了 C 一定在理发店呢？因为他的证明是错的其实， “若 A 不在则 B 一定在” 和 “若 A 不在则 B 也一定不在” 并不矛盾——如果事实上 A 在理发店，那么这两个条件判断句都是真的 “若 A 不在则 B 一定在” 真正的否定形式应该是 “A 不在并且 B 也不在” 自然语言的表达能力 我曾在《另类搞笑：自我指涉例句不完全收集》一文中写过： 引用 定理：所有的数都可。